al (mod p). Целое число l называется дискретным логарифмом b к основе a.

Базируясь на трудности этой проблемы, Диффи и Хеллман предложили известную Diffie-Hellman ключевую схему соглашения в 1976. С тех пор были предложены многочисленные другие криптогафические протоколы, чья защита зависит от процессора передачи данных, включая: Американский правительственный алгоритм цифрового представления (системный агент каталога), ElGamal кодирование и схемы сигнатуры, Schnorr схема сигнатуры, и Nyberg-Rueppel схема сигнатуры.С должным интересом процессор передачи данных экстенсивно изучился математиками в течение прошлых 20 лет.

3.2.2. Разложение на множетели

Как с целочисленной проблемой факторизации, имеются два типа алгоритмов для решения дискретной проблемы логарифма. Специализированные алгоритмы пытаются эксплуатировать специальные особенности главной с. Текущие времена универсальных алгоритмов зависят только от размера с.

Самые быстрые универсальные алгоритмы, известные за решение процессора передачи данных ,основаны на методе называемом конкрементом индекса. В этом методе создана база данных маленьких штрихов и их соответствующих логарифмов, в последствии за которой логарифмы произвольных полевых элементов могут быть легко получены. Это напоминание о методах основы множителя для целочисленной факторизации. По этой причине, если уточнение в алгоритмах для IFP или процессора передачи данных найдено, то вскоре подобный улучшенный алгоритм может ожидаться, чтобы быть решеным в пользу другай проблемы. С методами разложения на множители, алгоритмы конкремента индекса могут быть легко параллелизованы.

В случае с разложением на множители, лучшим текущим алгоритмом является процессор передачи данных - решето поля цифр. Он имеет то же самое асимптотическое текущее время , как соответствующий алгоритм для целочисленной факторизации. Это может свободно интерпретироваться с таким сообщением: что обнаружение логарифмов в случае k-бита главного модуля p

стольже трудно как разложение на множители k-бит составного число n.

Выполнение дискретных алгоритмов логарифма отстало от аналогичных усилий для разложения на множители целых чисел. В 1990 Брайен ЛаМакчия и O.Эндрю использовали вариант метода конкремента индекса, называемого методом Комплексного целого числа вычисляемого дискретный модуль логарифмов 191-разрядный штрих. Раньше Вебер, Дэнни и Зауер (студенты в Universitaet des Saarlandes, Германия) вычислили дискретный модуль логарифмов 248-разрядный штрих, используя решето поля цифр.

Проект, инициализированный в Университете Waterloo (Канады) пытается улучшать эту технологию, и в теории и в практике с целью принятия модуля логарифмов штрих p длины более 400 битов. Лучшие оценки состоят в том, что эта цель далека от достижения на несколько лет. Можно сказать, что принятие модуля логарифмов 512-разрядный штрих p останется труднообрабатываемым в течение следующих трех или четырех лет. На сравнении, 512-разрядный RSA модуль будет вероятно разложен на множители в пределах года или около этого.

Тем не менее, для долгой защиты, 1024-разрядный или больший moduli p должен использоваться в дискретных системах шифрования логарифма.

3.3.Эллиптическая кривая дискретная проблема логарифма (ECDLP)

3.3.1. Описание задачи

Эллиптический аналог кривой системного агента каталога (ECDSA), и эллиптических аналогов кривой Diffie-Hellman ключевой схемы соглашения, ElGamal кодирования и схем сигнатуры, Schnorr схемы сигнатуры, и Nyberg-Rueppel схемы сигнатуры.

Должно быть подчеркнуто, что эти проблемы являются труднообрабатываемыми, потому что годы интенсивного изучения ведущими математиками и компьютерными учеными не сумели выдать эффективные алгоритмы для их решения .

Если q - главная мощность, то Fq обозначает конечное поле, содержащее q элементы. В приложениях q - обычно мощность 2 (2m) или вспомогательное простое число (p).

Эллиптическая кривая дискретная проблема логарифма (ECDLP) заключается в следующем: учитывая эллиптическую кривую E определенную по Fq, точка PОE (Fq) порядка n, и точки QОE (Fq), определяются целым числом 0, l, 2, ., n - 1, так что Добротность = lP, при условии, что такое целое число существует.

Базируясь на трудности этой проблемы, Нейл Коблиц и Виктор Миллер независимо друг от друга в 1985 предложили использовать группу точек на эллиптической кривой, определенной по конечному полю, для осуществления различных дискретных систем шифрования логарифма. Один такой криптогафический протокол, который стандартизируется аккредитованными организациями стандартов - эллиптический аналог кривой системного агента каталога, называемого ECDSA.

Имеется только два главных способа в методах для решения IFP: квадратичный алгоритм разложения на множители решета (вместе с его предшественником, алгоритм разложения на множители цепной дроби), и решето поля цифр. Последний алгоритм возводит в степень некоторую сложную математику (особенно алгебраическая теория номера), и только полностью понят маленьким семейством теоретиков. До появления компьютеров, математики не искали алгоритмы для IFP, которые были эффективны вручную скорее , чем на больших сетях компьютеров. Другой факт, который обычно пропускается - то многое из работы, сделанной на процессоре передачи данных до 1985, также применяется к ECDLP , так как ECDLP может просматриваться как похожий на процессор передачи данных, но в различной алгебраической установке.

3.3.2. Разложения на множетели

Начиная с 1985, на ECDLP обратили значительное внимание ведущие математики во всем мире. Алгоритм из-за Pohlig и Hellman приводит определениеl к определениюl модуля каждый из главных множителей n. Следовательно, чтобы достичь возможно максимального уровня защиты, n должен быть главным. Лучший алгоритм, известный до настоящего времени для ECDLP - Pollard метод ро, где шаг имеется эллиптическое сложение кривой. В 1993 Р. Oorschot и Майкл Винер показали, как Pollard метод ро может быть параллелизован так, чтобы, если r процессоры использовались, то ожидаемое число с каждым процессором перед одиночным дискретным логарифмом получено - ( ) /r. Наиболее существенно, алгоритмы " типа показателя степени " не являются известными из-за ECDLP ,что касается процессора передачи данных. По этой причине, ECDLP является намного тяжелее или чем IFP или процессор передачи данных .

В 1991 Menezes, Okamoto и Vanstone (MOV) показал, как ECDLP может быть сокращен к процессу перпдачи данных в полях Fq, где могут применяться методы конкремента индекса. Однако, этот MOV алгоритм приведения эффективен только для очень специальной категории кривых ,известных как суперсингулярные кривые. Имеется простое испытание, чтобы гарантировать, что эллиптическая кривая не уязвима к этому разложению. Суперсингулярные кривые специально запрещены во всех стандартах эллиптических систем кривой типа ИИЭРА P1363, ANSI X9.62, и ANSI X9.63.

Другой жидкий класс эллиптических кривых - так называемые аномальные кривые - кривые E определенные по Fq, которые имеют точно q точки. Разложение на этих кривых было обнаружено Semaev, Smart, и Satoh и Araki , и обобщено Rьck. Имеется простое испытание над суперсингулярными кривыми для того чтобы гарантировать, что эллиптическая кривая не уязвима; через это испытание, эти кривые специально запрещены во всех стандартах эллиптических систем кривой.