Пусть первые m переменных - свободные, тогда если , то остальные , можно записать как . Т. е. остальные (Х-m) переменных могут быть линейно выражены через . Подставляя полученные выражения в неравенства

(24)

получим систему неравенств:

(25)

Эта система неравенств образует так называемое многогранное множество в m - мерном пространстве. Если это множество не пусто, то, так как оно ограничено, оно является выпуклым многогранником. Точка называется вершиной выпуклого многогранника в , если она является допустимой и представляет собой точку пересечения m линейно независимых гиперплоскостей. (Каждое линейное уравнение задает гиперплоскость, каждому линейному неравенству из (25) сопоставляется ограниченное гиперплоскостью полупространство; гиперплоскость получают, заменяя знак неравенства на знак равенства.) Вершина вырожденная, если она является точкой пересечения более чем m гиперплоскостей.

Вершину нельзя представить в виде выпуклой линейной комбинации двух других точек допустимой области для всех допустимых точек ( ). Всякое многогранное множество имеет конечное число вершин. Если допустимая область образована n неравенствами и m уравнениями, то она может иметь самое большее вершин. Т. к. допустимая область в данном случае является выпуклым многогранником, то каждая допустимая точка имеет по меньшей мере одно представление:

(26),

где - вершины многогранника; .

Таким образом, если мы найдем все вершины многогранника (если они существуют. В противном случае решения не существует), то мы получим общее решение задачи формирования матрицы .

где - допустимая точка, найденная по формуле (26). Получим оставшиеся Х неизвестных и завершим построение маршрутной матрицы.

3.2. Пример нахождения общего решения.

Дана концептуальная эталонная виртуальная СеМО , с L=5, для которой определены концептуальный вектор , орграф , матрица смежностей .

Множество .

Из уравнений (21), (22) получим значения 15 неизвестных маршрутных вероятностей из 25. Оставшиеся неизвестные занумеруем ,

получим:

Рассмотрим систему линейных уравнений (18), (19), (17). Применяя к ней алгоритм Гаусса получим:

a) система совместна.

b) решение неоднозначно 10-8=2 неизвестных могут быть выбраны произвольно.

Решаем систему и получаем:

(*)

Подставим результаты в (25). Получим систему типа (26):

(27)

Эта система неравенств образует многогранное множество, изображенное на рис. 1.

Любая пара принадлежащая допустимой области удовлетворяет системе (27).

Многограннику имеет 5 вершин:

Любая точка допустимого множества имеет представление , где - вершины, , , . Пусть, например, , тогда

. Подставим значения и в (*), получим

Рисунок 1.

3.3. Метод формирования маршрутной матрицы виртуальной СеМО.

Задача построения виртуальной СеМО может быть сведена к задаче нелинейного программирования.

Пусть задана концептуальная виртуальная СеМО , для которой задан концептуальный вектор , орграф , матрица смежностей , множество .

Задачей нелинейного программирования общего вида называется задача: Найти

(2.1)

при ограничениях

(2.2)

Введем в рассмотрение функцию ; очевидно, что если отыщется такая, что ,то есть искомая маршрутная матрица. Т. о. мы получили задачу:

(2.3)

при ограничениях

(2.4)

Задача (2.3) - (2.4) является задачей нелинейного программирования. Ее можно отнести к задачам квадратичного программирования - класс задач для которых целевая функция квадратична, а все ограничения линейны.

Решая задачу (2.3) - (2.4) одним из методов, рассмотренных в [3-5] можно получить один из результатов:

1) , где . В этом случае сформировать маршрутную матрицу невозможно.

2) . В этом случае есть искомая маршрутная матрица виртуальной СеМО.

Для решения ЗНП разработан ряд методов, позволяющих, отправляясь от некоторого начального решения, получать последовательно значения, которые находятся все ближе к искомой точке максимума (минимума). Группа методов, основанных на вычислении и сравнении значений целевой функции в ряде точек перед следующим шагом, называется поисковыми методами оптимизации.

В задаче можно представить целевую функцию как гиперповерхность. Максимальное значение достигается в вершине самого высокого холма. Поиск экстремума начинают с любой удобной точки, причем двигаются в направлении наискорейшего подъема, пока не достигают либо вершины, либо границы. При достижении границы необходимо исключить перемещение за пределы ограничений. При достижении вершины, которая встретилась в направлении наискорейшего подъема поворачивают во вновь выбранном направлении наискорейшего подъема. Таким образом достигают точки, где движение в любом направлении приводит к спуску. В этом случае утверждают, что найден по крайней мере локальный экстремум.

На практике, при реализации этого метода возникают две трудности. Во-первых, это относительная малая скорость сходимости. Для преодоления этого служат методы нахождения более эффективных направлений, чем направление наискорейшего подъема. Вторая трудность состоит в том, что этот метод позволяет обнаружить локальные максимумы, но не дает гарантии достижения абсолютного (глобального) экстремума. Чтобы преодолеть эту трудность обычно начинают поиск из различных точек, и, если вычисления сходятся к разным вершинам, то выбирают наиболее высокую из них. Также можно использовать метод, известный под названием “метод тяжелого шарика”, при котором движение точки напоминает движение тяжелого шарика по бугристой поверхности. Рассмотрим некоторые из методов поисковой оптимизации.

3.4. Поиск по статистическому градиенту.

Пусть надо найти максимум . В точке делается m случайных испытаний и вычисляются приращения целевой функции

где - случайные величины, - случайный шаг.

Далее определяют величину

Усредненное по всем реализациям значения совпадает с истинным направлением наискорейшего подъема, т. е.

Далее из точки совершается очередной рабочий шаг:

3.5. Метод “тяжелого шарика”.

Рассмотрим простейший вариант случайного поиска:

пусть - произвольная точка. Из совершается движение с шагом в случайном направлении с равномерным распределением.

Движение представляющей точки описывается так:

Этот алгоритм без памяти может быть усовершенствован. Направление удачных проб запоминается и вероятность шага в этих направлениях возрастает. Для этого введем вектор памяти , проекции которого на координатные оси определяют вероятность выбора положительного направления по i - ой оси. - монотонная, неубывающая функция, тогда , а изменяется так:

где - параметр запоминания, - характеризует скорость обучения, .

Этот метод называется методом “тяжелого шарика”.

3.6. Формирование маршрутной матрицы.

Пусть поставлена задача (2.3) - (2.4). Для нахождения решения применим метод последовательной оптимизации.

Описание метода.

1. Начальный шаг к=0.

В качестве начального приближения выберем некоторую матрицу . Матрица должна удовлетворять условиям 2.4. Зададим точность .