Содержание

Введение

1. Постановка задачи

2. Виртуальные СеМО

2.1. Маршрутные матрицы виртуальных СеМО

3. Методы построения маршрутных матриц виртуальных СеМО

3.1. Общее решение

3.2. Пример нахождения общего решения

3.3. Метод формирования маршрутной матрицы

3.4. Поиск по статистическому градиенту

3.5. Метод “тяжелого шарика”

3.6. Формирование матрицы. Описание метода

4. Алгоритм программы, реализующей метод

5. Назначение и описание программы OPTIM

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Список идентификаторов

Приложение 2. Текст программы

Введение

Широкое результативное применение сетей массового обслуживания (СеМО) различных классов [1-2] в качестве математических моделей дискретных систем с сетевой структурой и стохастическим характером функционирования обуславливает дальнейшее интенсивное развитие теории сетей массового обслуживания, методов решения задач их анализа, синтеза и оптимизации, а как же методологии моделирования дискретных систем сетями массового обслуживания. Сети обслуживания, являющиеся моделями соответствующих дискретных систем будем считать объектными.

При решении задач анализа, синтеза и оптимизации объектных часто используется понятие некоторой “оптимальной” СеМО. Содержание термина “оптимальная” в значительной степени определяется содержанием решаемых задач. Например, многие задачи анализа СеМО связаны с поиском “узких” мест в СеМО, т.е. систем массового обслуживания, м.о. числа пребывающих требований в которых превышают некоторые допустимые значения. После нахождения узких мест их устраняют, например, увеличивается интенсивность обслуживания в соответствующих СеМО, или изменяя маршрутные матрицы СеМО. Таким образом в качестве оптимальной может рассматриваться, например, СеМО, во всех системах которой математические ожидания длительностей обслуживания одинаковы. Часто целью решения задач синтеза и оптимизации является формирования СеМО возможно большей пропускной способности.

При этом особый интерес представляет класс задач такого типа, когда решение достигается за счет изменения маршрутной матрицы сети, оставляя неизменными заданные интенсивности обслуживания в системах массового обслуживания.

Целью настоящей дипломной работы является разработка метода формирования маршрутных матриц однородной замкнутой экспоненциальной сети массового обслуживания.

1. Постановка задачи

Пусть задана объектная СеМО, определяемая набором [1]

Пусть так же заданы - концептуальный вектор, построенный на основании теорем, приведенных в [1] и S - матрица смежностей, определяемая следующим образом:

- несформированная матрица .

Необходимо построить виртуальную СеМО эталонного типа, а если это невозможно, то сеть стандартного или симметричного видов [1]. Для этого необходимо задать набор [1-2], которым определяется однородная замкнутая экспоненциальная сеть. Этот набор отличается от набора только тем, что для него сформирована маршрутная матрица . Т.о. задача состоит в том, чтобы найти неизвестные маршрутные вероятности , эта задача называется задачей синтеза [1].

2. Виртуальные СеМО

Можно ожидать высокой пропускной способности от СеМО с параметрами, обеспечивающими в стационарном режиме функционирование СеМО значения математических ожиданий числа пребывающих в системах требований, пропорциональные интенсивности обслуживания в данных СеМО.

При решении задач анализа, синтеза и оптимизации объектных СеМО используют СеМО, которые будем называть виртуальными. Параметры виртуальных СеМО формируются на основе параметров, соответствующих объектных СеМО. В частности, виртуальные СеМО могут отличаться от соответствующих объектных СеМО только своими маршрутными матрицами. Рассматриваются виртуальные СеМО трех видов: эталонные, стандартные и симметричные [1].

Виртуальные СеМО различных видов, соответствующие некоторой объектной СеМО отличаются топологиями, определяемыми их маршрутными матрицами.

Виртуальные СеМО каждого вида могут быть одного из следующих типов: консервативного, регулярного, равномерного [1]. Тип определяется требованиями, предъявляемыми при формировании сети к некоторым ее характеристикам.

Исходя из соображений, приведенных в [1], при исследовании дискретных систем во многих случаях в качестве их моделей (объектных СеМО) могут весьма эффективно использоваться экспоненциальные СеМО.

В качестве виртуальных СеМО рассматриваются экспоненциальные, однородные, замкнутые СеМО, определяемые набором

(1)

Основные стационарные характеристики рассмотрены в [1], [2].

Считая известными вектор вероятностей перехода требований в системы сети обслуживания при их очередных переходах (вектор является решением уравнения с условием нормировки ) и множества величин

и ( - множество номеров СеМО). Маршрутные матрицы виртуальных СеМО, , определяются решением системы уравнений (2)-(4) с возможным использованием условий (5)-(6).

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Решение системы (2)-(4) в случае, когда все равны 1, а условия (5)-(6) не используются определяет матрицу для виртуальных СеМО симметричного вида, имеющих полносвязную топологию с петлями.

Использование при решении (2)-(4) только условий (5) дает полносвязную топологию без петель стандартного вида.

При определении маршрутных матриц эталонных виртуальных СеМО используются условия (5)-(6). Очевидно, использование данных условий позволяет в общем случае задать произвольную топологию эталонной сети, в которой не допускаются петли. Т.е. маршрутная матрица эталонной сети может иметь структуру, тождественную (в отношении числа и расположения нулевых элементов) структуре маршрутной матрицы, соответствующей объектной СеМО. Эти матрицы могут отличаться только значениями ненулевых элементов. Заметим, что подсистема (4) определяет отношения относительных интенсивностей встречных потоков требований из сi в сj и обратно.

Определение 1. Маршрутные матрицы и однородных, замкнутых СеМО и с одноприборными СМО, определяемыми наборами

называются подобными, если они имеют одинаковое число и расположение нулевых элементов и отличаются только значениями ненулевых элементов.

Определение 2. СеМО и , определенные наборами

называются подобными, если их маршрутные матрицы и подобны, а остальные элементы наборов равны соответственно.

Определение 3. Однородная замкнутая экспоненциальная СеМО с одноприборными СМО, определяемая набором

и удовлетворяющая условиям:

называется виртуальной СеМО консервативного типа.

Определение 4. Однородная замкнутая СеМО с одноприборными СМО, определяемая набором

и удовлетворяющая условию называется виртуальной СеМО регулярного типа.

Определение 5. СеМО , определяемая набором

и удовлетворяющая условию

( - м. о. длительности пребывания требования в сi ) называется виртуальной СеМО равномерного типа.

В [1] рассмотрены основные характеристики виртуальных СеМО различных типов и доказан ряд теорем, на основании которых могут быть построены эти характеристики. (В том числе вектор .)