2.1 Маршрутные матрицы виртуальных СеМО.

Решение вопроса о существовании виртуальных СеМО соответствующих видов и типов зависит от значений параметров L, N, вектора . При этом для исключения тривиальных случаев достаточно потребовать, чтобы значения параметров L и N удовлетворяли очевидным соотношениям (7), а значения компонент вектора удовлетворяли неравенству (8).

Для виртуальной СеМО равномерного типа на значения

накладывается дополнительное ограничение

(9),где

(10)

В [1] показано, что вероятности существуют и удовлетворяют требованиям:

(11)

для виртуальных СеМО консервативного и регулярного типов при выполнении ограничений (7), (8), а для виртуальных СеМО равномерного типа (7),(8),(9). Поэтому будем считать, что для представляющих теоретический интерес виртуальных СеМО параметры L, N, и таковы, что (7),(8),(9) выполняются и существует вектор построенный на основании теорем, приведенных в [1].

Определение 6. Виртуальные СеМО, параметры L, N, которых удовлетворяют ограничениям (7),(8), (9), а вектор определяется на основании теорем [1] и удовлетворяет условиям (11) называются концептуальными виртуальными СеМО, а вектор - концептуальным вектором.

Таким образом, концептуальными являются все виртуальные СеМО для которых еще не сформулирована или не может быть сформулирована маршрутная матрица , такая, что концептуальный вектор является решением уравнения (12) с условием нормировки

(13).

Другими словами виртуальная СеМО не существует пока не определены все элементы набора , в том числе и . Поэтому интерес представляет условие существования маршрутных матриц для коцептуальных СеМО.

Маршрутные матрицы концептуальных виртуальных СеМО существенно зависят от их топологии. Обозначим концептуальную виртуальную СеМО через , где соответственно для сети симметричного, стандартного и эталонного видов.

Введем в рассмотрение орграф , отображающий топологию СеМО . Вершины соответствуют СМО, а дуги - траекториям переходов требований между системами.

I - ую вершину орграфа обозначим через , а дугу соединяющую с через .Очевидно, - сильносвязный. Используя обозначения и , соответственно для полустепеней исхода и захода , обозначим матрицу смежности орграфа и, учитывая, что сумма элементов i - ой строки матрицы равна , а сумма элементов i - ого столбца - . В орграфе

По определению имеет полносвязную топологию с петлями. Т. о. в орграфе ( - концептуальная симметричная СеМО). Каждая вершина соединена дугой со всеми другими и имеет петлю . Все элементы равны 1.

Концептуальная стандартная СеМО имеет полносвязную топологию без петель. Все элементы матрицы смежности равны единице, кроме элементов главной диагонали.

Топология концептуальной эталонной СеМО может быть произвольной и должна удовлетворять лишь одному требованию - быть тождественной топологии соответствующей объектной СеМО. Поэтому тождественен орграфу объектной СеМО, матрицы и тождественны. Из связи с следует:

1) если не смежна с , то .

2) если смежна с , то если , .

3) число неизвестных сети

(14).

Введем в рассмотрение множество констант

если не смежна с и , если смежна с и мощность Иногда для может быть задано множество констант , , мощности , используемое при формировании маршрутной матрицы . В этом случае, если смежна с и , то при наличии в множестве элемента

, соответствующего полагается, что .

Объединение множества и дает множество

, элементы которого определяют значение соответствующих маршрутных вероятностей .

Для определения маршрутных вероятностей сети значительный интерес представляют возможно имеющиеся данные о сравнительной величине встречных потоков между и . Относительные интенсивности потоков требований из в равны .Обозначим отношение интенсивностей через , т. е. . Величина называется коэффициентом обмена, а уравнение - уравнением обмена.

Обозначим через множество коэффициентов обмена. Задание этого множества определяет уравнений обмена, которые могут быть использованы при определении .

Следовательно для решения неизвестных маршрутных вероятностей может быть использована система Е линейных алгебраических уравнений, включающая три подсистемы:

a) подсистема уравнений потоков (L уравнений):

b) подсистема уравнений нормировки (L уравнений):

c) подсистема уравнений обмена ( уравнений):

Число уравнений обмена зависит от топологии сети и значений , и может быть меньше [1].

Теорема 1. Для концептуальной симметричной виртуальной СеМО консервативного, регулярного или равномерного типа с концептуальным вектором маршрутная матрица всегда существует и ее элементы определяются соотношениями . Доказательство приведено в [1].

Теорема 2. Для концептуальной стандартной виртуальной СеМО консервативного, регулярного или равномерного типов маршрутная матрица существует, если совместна система уравнений:

(15)

(16)

(17)

Значения элементов матрицы определяются решением этой системы. Теорема доказана в [1].

Замечание Общее решение системы (15) - (17) определяет бесконечное число подобных матриц . Для конкретизации матрицы задают конкретные значения свободных неизвестных.

Теорема 3. Для концептуальной эталонной виртуальной сети любого типа с концептуальным вектором , заданной топологией, определяемой орграфом , матрицы смежности , заданным множеством коэффициентов обмена , маршрутная матрица существует, если совместна система уравнений

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

при ограничениях (23)

Доказательство см. в [1].

Примеры виртуальных СеМО различных видов рассмотрены в [1].

3. Методы построения маршрутных матриц СеМО.

3.1. Общее решение.

Задача построения маршрутной матрицы виртуальной СеМО может быть решена следующим образом:

Пусть дана концептуальная эталонная виртуальная СеМО , состоящая из L СМО. Для которой определены вектор , орграф , матрица смежности , множество , множество коэффициентов обмена.

Необходимо сформулировать маршрутную матрицу ,т.е. найти L2 неизвестных , .

Из уравнений (22) - (23) получили значения неизвестных ,где Х определяется (14).

В результате получили систему линейных алгебраических уравнений (18) - (20) от Х неизвестных (индекс сверху - порядковый номер неизвестной).

Решая систему методом Гаусса, получим один из трех возможных вариантов:

a) Система неразрешима. В этом случае сформировать маршрутную матрицу , а следовательно и виртуальную эталонную СеМО невозможно.

b) Система разрешима однозначно. В этом случае необходимо проверить, удовлетворяют ли полученные значения неравенствам (23). Если неравенства выполняются, то полученное решение дает значения оставшихся Х неизвестных , т. о. заканчивается формирование маршрутной матрицы . Если (23) не выполняется, то сформировать

невозможно.

c) Система разрешима неоднозначно. Общее решение системы (18) - - (20) фактически определяет бесконечное множество подобных матриц для конкретной концептуальной СеМО. Задание конкретных значений свободных переменных определяет конкретную маршрутную матрицу для такой СеМО. Очевидно, что это конкретное решение должно удовлетворять ограничениям (23).