Напомним основные правила дифференцирования:

сумма: (u + v)’ = u’ + v’

коэффициент: (Cu)’ = Cu’

произведение: (uv)’ = u’v + uv’

частное: (u / v)'=(u'v - uv') / v2

В учебниках Башмакова и Колмогорова все эти формулы выводятся, каждый шаг объясняется. Учебник Алимова содержит доказательства только двух первых формул, зато к каждой формуле есть по 1-2 примера.

В учебнике Колмогорова рассматривается формула производной сложной функции (гл 2, §16):

f(g(x))’ = f ’(g(x))g’(x)

Вначале автор дает определение сложной функции, затем выводит формулу и приводит несколько примеров нахождения производной сложных функций. Алимов решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее частный случай – линейную замену аргумента:

(f(kx + b))’ = kf ‘(kx + b)

Эта формула, конечно, гораздо менее емкая, зато ее доказательство короче и менее абстрактно. Башмаков же включил в учебник обе формулы.

3-2. Производные элементарных функций

Проблема заключается в том, что если тема «производные» дается перед рассмотрением каких-либо элементарных функций, то производные этих функций придется рассматривать позже, что может отвлечь от сути. С другой стороны, помещая производные в самый конец учебника, сложность материала может повышаться неравномерно, что может сказаться на успеваемости.

Башмаков посвящает вычислению производной через приращения целый пункт, где выводит 5 формул (для линейной функции, квадрата, куба, гиперболической функции, корня). С этого пункта и начинается собственно вычисление производных. Далее, после рассмотрения правил дифференцирования, выводится формула производной степени. Производные показательной и логарифмической функций рассматривается в соответствующей главе, а производные тригонометрических функций вовсе исключены из курса.

В учебнике Колмогорова формулы производных показательной и логарифмической функций также выводятся и применяются в решении задач позже. Однако, производные тригонометрических функций, уже изученных к этому моменту, даются в главе «производная» в виде отдельного пункта. Кстати говоря, в ходе вывода формулы производной синуса, доказывается следующее утверждение:

lim (sin (x) / x) = 1

Доказательство усложнено тем, что переменная выступает как угол и длина, необходим переход от длины дуги к длине отрезка. Он обосновывается довольно расплывчато, но объяснения интуитивно вполне понятны. Имея в распоряжении формулу производной синуса, нетрудно найти производные остальных функций.

Алимов рассматривает степенную функцию перед правилами дифференцирования, а формулы производных других элементарных функций (показательной, логарифмической, тригонометрических) – после и в отдельном пункте. Доказательство приводится только для синуса, но для каждой функции есть решенная задача. Удобство заключается в том, что все элементарные функции и правила дифференцирования рассматриваются последовательно и нет необходимости возвращаться к уже пройденному материалу.

4. Исследование функций

4-1. Возрастание и убывание функций

В начале раздела о исследовании функций в учебнике Башмакова приводятся две теоремы: о том, что функция имеющая на промежутке производную, тождественно равную 0, постоянна на этом промежутке и признак монотонности функции. Затем идет формулировка признаков возрастания / убывания функции – они находятся в начале разделов учебников Алимова и Колмогорова. Колмогоров доказывает эти признаки на основе формулы Лагранжа:

Алимов доказательство не приводит. Затем идут примеры, наглядно показывающие, как находить промежутки возрастания / убывания.

4-2. Экстремумы функций

Основополагающими теоремами в этом пункте являются: необходимое условие экстремума (производная в точке экстремума должна быть равна 0), признаки максимума / минимума функции. Согласно просматривающемуся стилю авторов, Колмогоров методично доказывает каждую теорему, Алимов делает упор на рассмотрение задач, а Башмаков по возможности в доказательствах и рассуждениях обходится без формул, предпочитая рассказ о свойствах производной.

Замечу, что Башмаков выделил пункт для рассмотрения т. н. особых точек. Это точки, в которых производная не существует, но функция может быть непрерывной. Колмогоров рассматривает их в пункте «применение непрерывности» . Кроме того, там же рассматривается важнейший метод исследования поведения функции – метод интервалов.

4-3. Схема исследования функций

Колмогоров:

1) Нахождение области определения

2) Проверка на четность / нечетность

3) Нахождение точек пересечения с осями

4) Нахождение промежутков знакопостоянства

5) Нахождение промежутков возрастания и убывания

6) Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках

7) Исследование поведения функции в окрестностях «особых» точек и бесконечности

Башмаков и Алимов исследуют функцию только на монотонность.

5. Приложения производной

5-1. Применение производной в физике

Ранее уже был рассмотрен механический смысл производной – как найти скорость (ускорение – производная от скорости – вторая производная функции). Учебник Башмакова показывает, как производная используется также при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс, кинетическая энергия. Разъясняется суть понятия дифференциала: дифференциалом функции называют произведение производной на приращение аргумента. Рассказывается, как с помощью дифференциала можно найти заряд, работу, массу тонкого стержня, теплоту.

Колмогоров также приводит примеры использования производной в физике: нахождение мощности, линейной плотности. Также он объясняет с помощью производной принцип действия параболических телескопов.

5-2. Приближенные вычисления

Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике Колмогорова и Башмакова. Авторы указывают на сходство графиков функции и касательной и значения будут ненамного различаться при достаточно малом приращении. Эта тема носит практический характер. Рассмотрены несколько примеров.

Заключение

Принимая в расчет вышеизложенное, я могу дать такую характеристику этим учебникам:

Учебник под редакцией Колмогорова характеризуется большим объемом материала по производной и высокой степенью детальности. Как следствие – высокий уровень подготовки и некоторая сложность в понимании. Этот учебник по праву наиболее часто используется в обычных школах.

Учебник Алимова делает больший упор на практическую сторону. В тексте много примеров решения задач, некоторые пункты даже целиком состоят из них. К каждому пункту прилагается большой набор задач для самостоятельного решения. Доказательства – слабая сторона учебника, т. к. они кратки, а зачастую их нет совсем. Некоторые аспекты темы опущены.