Однако, отрицая объективный характер математиче­ской бесконечности, приписывая ей роль априорной идеи в духе Канта, он делает уступку идеализму. Впрочем, более внимательный анализ показывает, что для Гильберта бесконечность, как и любое другое идеальное высказывание математической теории, представляет прежде всего форму всеобщности. Одна из пло­дотворных идей его теории доказательства состоит в том, чтобы свести математику «к совокупно­сти формул, во-первых, такиx, которым соответсвуют содержательные сообщения конечных высказываний, т. е. по существу числовых равенств и неравенств, и, во-вто­рых, других формул, которые сами по себе никакого значения не имеют и которые являются идеальными об­разами нашей теории».

Эти идеальные образы и представляют обобщения ко­нечных, частных высказываний. Подобно тому как обращение с формулами становится возможным благодаря наличию частных высказываний, «оперирование с бесконечным может стать надежным только через конечное». Согласно финитной установке Гильберта, в теории доказательства, или метатеории, ко­торая имеет объектом исследования формальные систе­мы, утверждения должны быть интуитивно ясными, а выводы должны убеждать. Поскольку актуальная беско­нечность не удовлетворяет этим требованиям, она не по­пользуется в метатеории.

Идея бесконечности допусти­ма как основа разумного мышления, если не за­бывать ее связь с конечными процессами и объектами.

Конструктивное направление в математике также не допускает использование абстракции актуальной бесконечности, но в отличие от интуиционизма (Л. Брауэра, Г. Вейля), представители этого направления (А. А. Марков, Н. Л. Шанин и др.) опираются на строгое математическое понятие — понятие алгоритма. Математический объект признается ими существующим лишь постольку, поскольку имеется возможность построения его в рамках абстракции потенциальной осуществимости, т. е. если построе­ние объекта осуществимо либо практически, либо потен­циально.

Заключение.

История развития науки показывает, что теоретическое познание начинается с возникновения отдельных абстракций, затем происходит их объединение, или синтез, в рамках научных систем и теорий.

По мере углубления знаний о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира возрастает и абстрактность самой математики и соответственно этому все более отдаленной и опосредованной становится связь ее отдельных понятий с действительностью.

Математика, как и всякая другая наука, представляет собой не конгломерат различных понятий, суждений и законов, а единую, цельную систему научных знаний, в которой одни понятия и суждения зависят от других. Пожалуй, ни в одной другой науке эти связи и отношения между понятиями, суждениями и даже отдельными теориями нельзя выявить так четко и определенно, как в математике.

Подобно тому как вопрос об отношении мышления к бытию является основным для философии, вопрос об отношении математического знания к реальной действительности является основным философским вопросом для математики. И одно из главных мест в понимании отношения математических теорий к реальности занимает понятие абстракции. Ведь именно на ней, в определенном смысле, строятся все математические теории и выводы.

И подобно же тому как решение вопроса отношения математического знания к реальной действительности определяет два направления в философии: материализм, рассматривающий понятия математики как отражение определенных свойств и отношений внешнего мира, и идеализм, считающий эти понятия либо чистыми созданиями мысли, либо условными соглашениями, либо доопытными, априорными идеями, словом, для идеалистов математические понятия – нечто первичное, а материальный мир – вторичное. Так и различные взгляды на абстракции различных идей, например, бесконечности, осуществимости и т. д., порождают различные школы философии.

Список литературы.

[1] Рузавин Г.И. О природе математического знания. (Очерки по методологии математики). М., 1968, 302 с.

[2] Киселева Н.А. Математика и действительность. М., 1967.

[3] Лукьянец В.С. Философские основания математического познания. Киев, 1980.

[4] Яновская С.А. Методологические проблемы математики. М., 1972, 280 с.

[5] Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983, 302с.