Вторая важнейшая особенность математической абстракции состоит в том, что абстрагирование здесь чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. Поэтому в математике преобладают абстракции от абстракций. В простейшей форме этот процесс встречался при выяснении происхождения понятия числа. Первоначально понятие числа еще не отделяется от сосчитываемых совокупностей и поэтому выступает как именованное число. Впоследствии оно освобождается от этой конкретности и выступает как отвлеченное понятие.

Эти две ступени абстракции мало чем отличаются от соответствующих абстракций естествознания. Но в математике отвлечение идет дальше. Если на втором этапе с понятием числа связывались еще конкретные отвлеченные числа, как, например, 1, 2 . 15 .100 и т. д., то на третьем этапе абстрагируются также и от конкретного значения числа. На этой основе и возникло понятие о любом возможном натуральном число, к которому пришли еще древние греки. Оперирование с таким понятием имело чрезвычайно большое значение для математики, так как оно давало возможность отвлекаться от конкретных чисел и обеспечивало возможность доказывать теоремы в общем виде.

Еще более отчетливо аналогичные этапы абстрагирования можно выделить в развитии такого фундаментального понятия всей математики, каким является функция. К самому понятию функциональной зависимости ученые пришли из рассмотрения конкретных взаимосвязей между различными величинами, которые встречаются в самых разнообразных задачах естествознания и техники. По сути дела большинство законов точного естествознания выражает функциональную связь различных величин.

В математике изучаются различные виды функций (целые, рациональные, логарифмические, тригонометрические и т. д.). Чтобы иметь возможность рассуждать о любых функциях, исследователь должен отвлечься от конкретных особенностей вышеперечисленных и других функций и ввести абстрактное понятие функции вообще. Это будет уже следующий этап абстрагирования. Дальнейший этап связан с образованием понятия функционала, который служит естественным обобщением функции и содержит его как частный случай.

Число таких примеров можно было бы легко увеличить. Достаточно напомнить процесс обобщения таких понятий, как абстрактное математическое пространство, интеграл, группа и другие, чтобы убедиться в том, что процесс обобщения в математике, как правило, проходит ряд ступеней абстракции, каждая из которых сопровождается расширением объема соответствующего понятия.

Во всей истории математики можно выделить три больших исторических этапа в развитии ее абстракций. На первом этапе, связанном с возникновением арифметики и геометрии, отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов. На втором этапе, когда вводится буквенная символика и происходит переход к алгебре, стали отвлекаться уже от конкретных чисел и величин. Наконец, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретных зависимостей между ними. Так, например, под операцией умножения теперь понимают не только умножение чисел, но и векторов, множеств каких-либо объектов («пересечение» множеств) и даже предложений (в математической логике). Таким образом, переменными здесь становятся не только объекты исследования, но и сами операции над ними.

Третья особенность математической абстракции состоит в значительном использовании так называемых идеальных объектов. Уже «точка», «прямая», «плоскость» Евклидовой геометрии представляют идеальные объекты, так как образуются посредством идеализации. Если же идеализацию понимать несколько шире, а именно как процесс образования таких понятий, которые или выражают свойства реальных объектов в искаженном виде, или приписывают им свойства, отсутствующие у них, тогда можно будет с известным основанием утверждать, что непосредственным объектом исследования математики являются именно абстрактные, или идеальные, математические объекты. Разумеется, что эти объекты не плод чистой фантазии. Они, как и вся математика в целом, служат для познания действительности. Но математика оперирует ими именно как идеальными объектами.

По существу такими же идеальными объектами являются понятия математической бесконечности потенциальной и актуальной. При образовании этих понятий приходится прибегать к различным абстракциям осуществимости. Использование различных абстракций осуществимости составляет четвертую важную особенность математического познания. В частности эти абстракции осуществимости ведут к разным понятиям бесконечности, которые в свою очередь порождают различные философские направления, такие как интуиционизм, конструктивизм и т. д., о чем подробнее будет сказано ниже.

Пятая важная особенность, непосредственно связанная с предыдущими, состоит в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту. Действительно, в математике повсюду оперируют одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а по к эксперименту, как это часто имеет место в естествознании.

2. Абстракция актуальной бесконечности.

Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечного множества, от невозможности за­дать такое множество посредством полного перечисления его элементов. Согласно абстракции актуальной бесконечности, в беско­нечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент. Но на самом деле зафиксировать и описать каждый элемент бесконечного множества принци­пиально невозможно. Абстракция актуальной бесконечности и представляет собой отвлечение от этой невозможности, что позволяет рассматривать, например, отрезок прямой как бес­конечное множество точек, каждую из которых можно инди­видуализировать, обозначив ее каким-то действительным чис­лом.

Понятие актуальной бесконечности возникает с по­мощью процесса идеализации. В данном случае идеализация дает возможность применять к бесконечным множествам простой и хорошо изученный аппарат классической логики. Этот аппарат возник и вполне оправдал себя при исследовании конечных множеств. Идеализированный характер акту­альной бесконечности состоит в том, что о бесконечном множестве рассуждают по аналогии с конечными множествами. Кроме того, здесь абстра­гируются от конкретных способов построения элементов бесконечного множества и даже допускают, что все его элементы существуют одновременно, а не возникают в процессе построения.

Поскольку актуальная бесконечность представляет со­бой чрезвычайно сильную абстракцию, то с пониманием ее связан целый ряд трудностей. Прежде всего ин­туиция восстает против представления бесконечности и виде завершенного процесса. Завершенность бесконечно­сти нередко понимается как ее уничтожение. Так, напри­мер, натуральный ряд чисел обычно мыслится как не­ограниченно продолженный, и интуиции нелегко свыкнуться с представлением о законченности этого ряда.