Еще Аристотель возражал против использования и науке понятия актуальной бесконечности, ссылаясь на то, что известен способ счета только на конечных мно­жествах. Он указывал, что конечное число разрушается актуальной бесконечностью.

Разбирая возражения, Кантор указывает, что и с бесконечными множествами можно производить некото­рые действия счета, если определенным образом упорядо­чить их. Разница будет состоять только в том, что если для конечных множеств порядок элементов не влияет па результат счета, то для бесконечных множеств он зави­сит от способа их упорядочения. Часто отмечали также, что актуальную бесконечность нельзя целиком объять в мысли, так как она предполагает сосчитанным бесконеч­ное множество. Возражая против этого, еще Б. Больцано заметил: чтобы вообразить целое, нет необходимости представлять отдельно его части.

Понятие актуальной бесконечности приводит к чрезвычайно неожиданным следствиям, например, утверждение, что для бесконечных множеств аксиома «часть меньше цело­го» теряет свою силу. Действительно, еще в XVII в. Галилей заметил, что квадраты целых положительных чисел могут быть поставлены во взаимноднозначное соответствие с самими положительными числами, и следовательно, эти множества эквивалентны.

Все эквивалентные множества обладают определенным общим свойством, которое можно выделить с помощью аб­стракции отождествления. Это свойство в математике при­нято называть мощностью множества. В случае конеч­ных множеств она совпадает с количеством элементов. В случае же бесконечных множеств, указывает Кантор, нельзя говорить о каком-либо точном определенном коли­честве их элементов, но зато им можно приписать опре­деленную, совершенно не зависящую от их порядка мощ­ность.

Воспользовавшись понятием мощности, можно оп­ределить бесконечное множество как множество, равномощное с какой-либо своей частью, или, как говорят математики, собственным подмножеством. Например, мно­жество натуральных чисел будет равномощно с множе­ством квадратов натуральных чисел, или с множеством всех четных чисел, или с множеством чисел, кратных 3, 5, 7, или вообще нечетных чисел и т. д. И множество квадратов целых чисел, и множество четных чисел так же, как и нечетных, составляют лишь часть множества натуральных чисел, но тем не менее они эквивалентны целому множеству. Обычно такого рода примеры вызы­вают недоумение у тех, кто впервые приступает к изуче­нию теории множеств. Кажется невозможным, чтобы часть множества была эквивалентна целому. На этой ос­нове и возникает критическое отношение к актуальной бесконечности.

На первый взгляд может показаться, что все существующие бесконечности имеют только одну мощность. Множества и натуральных, и рациональных, и алгебраи­ческих чисел являются счетными множествами. Прибавление к таким множествам любого числа конечных, или счетных, множеств дает в итоге счетное множество. Даже умножение на счетное множество не выводит за пределы счетных множеств.

Однако если сравнить мощность натурального ряда чисел с мощностью всех действительных чисел или мно­жеством всех точек отрезка прямой, то обнаружится, что они неравномощны. И множество всех действительных чисел, и множество точек отрезка имеют мощность боль­шую, чем мощность счетного множества. Поэтому действительные числа, как и точки отрезка, нельзя «пересчи­тать» с помощью натуральных чисел. Мощность множе­ства действительных чисел, или точек отрезка, или любой геометрической фигуры, содержащей по крайней мере одну линию, принято называть мощностью континуума. Кантору не удалось обнаружить множеств, мощность которых была бы промежуточной между мощностью счетного множества и континуума. Поэто­му он высказывал предположение, что континуум непосредственно следует за мощностью счетного множества. Решение этой знаменитой континуум-гипотезы долгое время не поддавалось ника­ким усилиям, и в свое время она была названа Гильбер­том одной из важнейших нерешенных проблем матема­тики. В 30-с годы К. Гёдель установил, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута, исходя из аксиом теории множеств. П. Коэн, развивая идеи Гёделя, доказал, что континуум-гипотеза независима от других аксиом теории множеств. Иными словами, исходя из указанных аксиом, она не может быть ни доказана, ни опровергнута.

Таким образом, добавление к аксиомам теории множеств как континуум-гипотезу, так и противоположное ей ут­верждение, никогда не приведет к логическому проти­воречию. Выходит, что могут существовать разные тео­рии множеств, в одних из которых континуум-гипотеза выполняется, в других нет. В этом открытии Коэна нетрудно обнаружить аналогию с открытием неевклидовой геометрии, когда стало ясно, что аксиома параллельных независима от остальных аксиом абсолютной геометрии.

Благодаря трудам Кантора и его последователей поня­тия и методы теории множеств заняли прочное место в математике. Теория мно­жеств дает возможность анализировать с единой точки зрения все математические науки: ведь элементами мно­жеств могут быть всевозможные математические объек­ты — и числа, и фигуры, и функции и т. п. Такая общность избавляет от необходимости доказывать, теоремы для частных видов математических объектов. Все эти до­казательства можно проводить теперь в общем виде.

Предельная общность и широта применения понятии и методов теории множеств не только для развития фак­тического содержания математики, по и для обоснования ее на новом фундаменте со временем привели к господ­ству в математике теоретико-множественных идей.

В 1902 г. Б. Рассел обнаружил пара­докс, который непосредственно связан с канторовским оп­ределением понятия множества. Это определенно не за­прещает рассматривать в качестве элементов множеств некоторые другие множества. Назовем такие множества не­обычными или лучше множествами второго рода. Примерами таких множеств могут служить множество множеств, каталогов библиотеки, множество множеств списков или вообще любое абстрактное множество множеств. К мно­жествам первого рода, или обычным, относятся то, ко­торые но содержат в качестве своих элементов множества. Так, множество звезд будет именно таким множеством.

Если теперь задать вопрос, к какому роду относится множество всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента, то на него можно дать два взаимо­исключающих ответа.

Если допустить, что указанное множество (в даль­нейшем называемое расселовским) относится к необыч­ным, то оно, будучи элементом множества всех мно­жеств, которые не содержат себя в качестве своего эле­мента, не должно принадлежать к необычным множест­вам. Следовательно, предположение о принадлежности расселовского множества к необычным множествам ведет к прямо противоположному результату: это множество должно принадлежать к обычным множествам. Исходя из полученного результата, легко обнаружить, что расселовское множество должно содержать себя в качестве элемента, т. е. оно должно принадлежать к необычным множествам. Выходит, что относительно множества всех множеств, не содержащих себя и качестве элемента, мож­но доказать дна прямо противоположных утверждения. Возникает парадокс.