2 Другой вариант метода установления .

Методы численного моделирования МДП-структур
Рефераты >> Математика >> Методы численного моделирования МДП-структур

2.Считаем j l+1 и R(pl,nl) известными и решаем систему линейных уравнений (3.22) и (3.23) .В результате определяем nl+1,pl+1.

3.Полагаем l=l+1 и переходим к пункту 1.

Итерации заканчиваются, если изменения j,n и p на двух последовательных итерациях достаточно малы.

Этот метод может быть эффективно использован лишь для приборов с (Nd+Na)<=1017см-3

3.2.2 Другой вариант метода установления .

Отличие от предыдущего метода состоит в том , что в правую часть уравнения Пуассона введена разностная производная потенциала j по времени.

jkl+1-jkl

t

(Dhrj l+1)k= -pkl+nkl-Nk + (3.24)

Скорость сходимости этого метода выше чем, метода (3.21)-(3.23), однако этот метод также неэффективен для структур с (Nd+Na) »1020см-3.

3.2.3.Методы линеаризации для решения нелинейной системы разностных уравнений .

Рассмотрим другую группу методов решения нелинейной системы разностных уравнений (*)-(**). Эти методы значительно более эффективны, чем методы установления, и широко применяются в практике расчётов полупроводниковых приборов.

Общая идея, положенная в основу данных методов, заключается в той или иной линеаризации исходной системы уравнений .Впервые метод такого типа был предложен Гуммелем.

Рассматривая задачу (*)-(**), предположим, что нам известно l-е приближение к решению системы: jl, nl, pl.Проведя ряд преобразований [1] получим :

(Dhrjl+1)k=nkl-pkl-Ndk+Nak+(nkl+pkl)(jkl+1-jkl) (3.25)

(Dnj l+1)nl+1)k-pklr(pkl,nkl)nkl+1=-(nie2)kr(pkl,nkl) (3.26)

(Dpj l+1)pl+1)k-nklr(pkl,nkl)pkl+1=-(nie2)kr(pkl,nkl) (3.27)

1

tn(p+nie)+tp(n+nie)

где r(p,n)= +Cnn+Cpp.

Методы решения каждой из линейных систем уравнений, т.е. для определения j l+1,nl+1,pl+1 , будут рассмотрены позже.

Можно привести пример ещё двух подобных методов , отличающихся от предыдущего видом лианеаризованного разностного аналога уравнения Пуассона :

(Dhrjl+1)k=nkl-pkl-Ndk+Nak+(nkl+pkl)(jkl+1-jkl)/tk (3.28)

(Dhrjl+1)k=nkl-pkl-Ndk+Nak+(nkl/akl+pkl/bkl)(jkl+1-jkl) (3.29)

где akl=(jkl-jkl-1)/ln(nkl/nkl-1); bkl=(jkl-jkl-1)/ln(pkl/pkl-1);

Итерационный процесс (3.29),(3.26),(3.27) будем называть методом 1, итерационный процесс (3.25),(3.26),(3.27)-методом 2, итерационный процесс

(3.28),(3.26),(3.27)-методом 3. Метод 3 во многих случаях более эффективен, чем 1 и 2, и обладает более высокой скоростью сходимости. Другой подход к решению системы нелинейных разностных уравнений (*)(**), также основанный на линеаризации, связан с методом Ньютона .Запишем (*)(**) в виде

(Dhrj)k-nk+pk=-Ndk+Nak

Fk(jk-1,jk,jk+1,jk-m,jk+m,nk-1, . nk+m, pk-1,pk,pk+1,pk-m,pk+m)=0,

(3.30)

Gk(jk-1,jk,jk+1,jk-m,jk+m,nk-1, . nk+m, pk-1,pk,pk+1,pk-m,pk+m)=0,

(3.31)

Линеаризуя (3.30) и (3.31) в окрестности известного l-го приближения, получаем, что, для определения l+1 приближения неоходимо решить систему линейных уравнений

(Dhrjl+1)k-nkl+1+pkl+1=-Ndk+Nak

¶Fkl

¶nh

¶Fkl

¶ph

¶Fkl

¶jh