Содержание

I.Введение

II.Математическая модель

1.1 Основные уравнения

1.2 Модели подвижности и рекомбинации.Краевые и начальные

условия

III.Численное решение основной системы уравнений

3.1 Алгебраизация ФСУ

3.1.1 Дискретизация уравнения Пуассона

3.1.2 Дискретизация уравнения непрерывности

3.2 Решение нелинейной алгебраической задачи

3.2.1 Метод установления

3.2.2 Другой вариант метода установления

3.2.3 Методы линеаризации для решения нелинейной системы

3.2.3.1 Итерационные методы решения линеаризированных

уравнений

IV.Заключение

Литература

I.Введение.

С середины 60-х гг. начало складываться новое направление в моделировании п/п приборов, предполагающее замену реального объекта его математической моделью, которая впоследствии решается на ЭВМ методами вычислительной математики. Моделью фрагмента твёрдотельной микроэлектронной структуры является система уравнений физики полупроводников, описывающая процессы переноса носителей заряда и распространения потенциала электрического поля в приборе. Такой подход позволяет учесть и исследовать различные нелинейные физические эффекты (Эрли, Кирка и др.) и их влияние на внешние электрические характеристики приборов.

Развитие вычислительной техники и появление эффективных численных методов решения уравнений математической физики сделали возможным появление двух и трёхмерных моделей. Необходимость таких моделей обусловлена рядом причин .

1.При анализе приборов с микронными размерами рабочих областей необходим многомерный подход.

2.Во многих современных приборах движение носителей тока имеет двумерный характер.

3.Многомерный анализ позволяет часто в традиционных приборах увидеть новые эффекты.

4.Невозможность внесения исправлений в готовый прибор и неоправданные затраты на совершенствование п/п приборов с помощью многочисленных тестовых итераций делают эффективной и экономически оправданной методологию численного моделирования.

Таким образом, располагая пакетом программ, реализующими численные модели, можно проектировать приборы непосредственно на ЭВМ, значительно сокращая количество длительных и дорогостоящих экспериментов.

В данной работе описываются двумерные численные модели, основанные на решении уравнений переноса носителей с помощью аппарата конечных разностей.

II.Математическая модель.

1.1.Основные уравнения .

Моделируемая МДП-структура, заполняющая некоторый объём, рассматривается как обьеденение областей, каждая из которых соответствует определённому материалу (рис.1) .Математические модели состояния металлических контактов считаются известными. Следовательно, моделированию подлежат тоько области полупроводника и диэлектрика.

Можно записать систему уравнений с достаточной точностью описывающую процессы, происходящие в полупроводнике [1].

Потенциал электрического поля описывается уравнением Пуассона:

Dj= -q(p-n+Nd-Na)/ee0 , (1.1)

divJn-qRn-q =0 , (1.2)

divJp+qRp+q =0 , (1.3)

Jn=qDnÑn-nVn , (1.4)

Jp= pVp –qDpÑp , (1.5)

Где n и p -концентрации электронов и дырок; j - электрический потенциал; Dn и Dp–коэффициенты диффузии для электронов и дырок; Vn и Vp –скорости дрейфа электронов и дырок; Jn и Jp плотности потоков электронов и дырок; R- превышение скорости рекомбинации над скоростью генерации , Na и Nd -концентрации донорной и акцепторной примеси; q -заряд электрона; ee0-диэлектрическая проницаемость.

Исток Затвор Сток

Подложка

Рис.1.Схематическое изображение МДП-структуры.

Необходимо отметить, что эффекты сильного легирования не оказывают существенного влияния на процессы в МДП-структурах [1], поэтому в уравнениях (1.4) –(1.5) они не учтены.

Уравнение Пуассона описывает области полупроводника и диэлектрика.Уравнения непрерывности действительны только для полупроводникового материала. На границе раздела диэлекрик-полупроводник ( на линии AB рис.1) выполняются условия [2]:

eп[Ñjп 5h]-eд[Ñjд 5h]=s ,

где h-еденичный вектор, ортогональный границе раздела, s-поверхностная плотность заряда ,которая считается известной (часто полагают s =0).

Для упрощения вида уравнений пользуются нормировкой всех величин входящих в систему, для этого все величины домножаются на соответствующий коэффициент. Масштабные коэффициенты приведены в литературе[2][3].

Уравнения (1.1)-(1.5) можно записать в интегральной форме: