(Jp·h)dS= R0dV , (1.52)

	ò S
			ò V

e(Ñj ·h)dS= (n-p-N-Ns)dV,(1.53)

N=Nd-Na,

Ns=s/h,

Ns-”концентрация” поверхностного заряда,приведённая к обьёму ячейки Vi

( h-сторона ячейки,перпендикулярная к границе раздела).

Система (1.51)-(1.53) содержит три интегральных тождества каждое из которых соответствует уравнению Пуассон, либо уравнению непрерывности.

Причём теперь уравнение Пуассона описывает как точки принадлежащие диэлектрической и полупроводниковой средам, так и точки, лежащие на границе раздела этих сред.

1.2. Модели подвижности и рекомбинации. Краевые и начальные условия.

Для полной постановки задачи помимо основных уравнений (1.1)-(1.5)

-1/2

((1.51)-(1.53)) необходимо задать модели подвижностей mn и mp, скорости рекомбинации R(p,n), а так же сформулировать краевые и начальные условия. В настоящее время применяются различные эмпирические формулы для mn и mp. Наиболее широко применяется модель Ямагучи [1][2], согласно которой mn и mp определяются по формулам:

mn= 65+1265 ( 1+ ( Nt /8.5 1016)0.72)-1 r 1+|E/8000| 2 , (1.60)

mp= 47.7+ 447(1+( Nt / 6.3 1016)0.76)-1 r 1+|E/1.95 10 4| , (1.61)

где Nt=Na+Nd,

Скорость рекомбинации обычно задают, учитывая рекомбинацию Оже и Шокли-Рида-Холла, а так же ударную ионизацию:

R0=Rшрх+ROже-Gуд , (1.70)

np­­-ni­2 tp0(n+n1)+tn0(p+p1)

Rшрх= , (1.71)

Rоже=(Cnn+Cpp)(np-nie2), (1.74)

Gуд=annVn+appVp, (1.73)

ni=nieexp[(Et-Ei)/kT], (1.74)

nie=exp[qDG /2kT]; (1.75)

nie-эффективная собственная концентрация носителей заряда .

Et –энергетический уровень центров рекомбинации,

DG-экспериментально определяемый параметр,

an,ap-коэффициенты ионизации для электронов и дырок,

В точках поверхности раздела полупроводник-металл концентрации носителей определяются профилем легирования :

n0=N/2+ (N/2)2 +nie2 , (1.80)

p0=-N/2+ (N/2)2 +nie2 , (1.81)

Значение электрического потенциала зависит ещё и от прикладываемого к контакту напряжения:

j=U+ln(n0/nie) или j=U+ln(p0/pie) , (1.90)

Для отражения границ задаются условия:

(-Ñjh)=0,(Jnh)=0,(Jph)=0 , (1.91)

Таким образом, математической моделью фрагмента МДП-структуры является система дифференциальных уравнений в частных производныx, дополненная соответствующими граничными условиями. Такая система называется основной или фундаментальной (ФСУ).

III.Численное решение основной системы уравнений.

Всё многообразие численных моделей можно разделить на два больших класса.Модели, относящиеся к первому, основаны на решении уравнений переноса носителей численным методом, а именно, с помощью аппарата конечных разностей. Модели второго класса основаны на представлении активного прибора в виде совокупности большого числа сосредоточенных элементов или отдельных секций, отражающих многомерный характер структуры прибора.

В данной работе рассматриваются модели МДП-структур, относящиеся по введённой классификации к первому классу. В этом методе производные

неизвестных функций, входящие в исходные дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяются конечно-разностными отношениями (построение разностной схемы), в результате чего получается система алгебраических уравнений, которая затем решается прямыми или итерационными методами.

3.1. Алгебраизация ФСУ,

На первом этапе решения системы дифференциальных уравнений необходимо осуществить алгебраизацию задачи путём аппроксимации на сетке множества точек, которыми моделируется область изменения неизвестных.

Каждое из трёх основных уравнений математической модели в интегральной форме выражает закон, который выполняется как в элементарной ячейке, так и во всей области определения,что является следствием фундаментальных физических свойств непрерывности электрического смещения и тока.конечно-разностная схема предполагает сохранение этих свойств и для алгебраических уравнений.

Рассмотрим некоторые вопросы касающиеся построения сеток дискретизации[2]. Соображения удобства реализации алгоритма решения основной системы на ЭВМ, а так же требование его экономичности обуславливают применение регулярных сеток, расположение узлов в которых подчиняется определённым закономерностям. В практике численного моделирования микроэлектронных структур примеяются как непрерывные прямоугольные (неравномерные), так и треугольные сетки (рис.2.). Треугольная сетка позволяет с меньшим количеством дополнительных узлов сгущать сетку в областях локальных неоднородностей (рис.2.б).