2.2. Эргодические цепи

Как указывалось выше под эргодической ДМЦ понимается цепь, не имеющая невозвратных состояний. Таким образом, в такой цепи возможны любые переходы между состояниями. Напомним, что эргодические цепи могут быть регулярными и циклическими. Ранее определение таких цепей было дано.

Поскольку согласно данному выше определению в эргодической ДМЦ на любом шаге должны быть возможными любые переходы, то очевидно при этом, что переходные вероятности не должны равняться нулю. Оказывается, из этого условия вытекают некоторые замечательные свойства регулярных ДМЦ:

1. Степени при стремятся к стохастической матрице .

2. Каждая строка матрицы представляет один и тот же вероятностный вектор

(12)

все компоненты которого положительны.

Вектор (12) в теории ДМЦ занимает особое место из-за наличия многих приложений и называется вектором предельных или финальных вероятностей (иногда - стационарным вектором). Финальные вероятности определяют с помощью векторно-матричного уравнения

(13)

которое в развернутом виде будет выглядеть так:

(13а)

К уравнениям (8.13а) можно дополнительно добавить условие нормировки:

(14)

Тогда любое из уравнений в (8.14) можно исключить.

Так же, как и в случае поглощения ДМЦ многие характеристики эргодических цепей определяются с помощью фундаментальной матрицы, которая в этом случае будет иметь вид:

(15)

Для эргодических цепей характеристикой, имеющей важное практическое значение, является продолжительность времени, за которое процесс из состояния впервые попадает в , так называемое время первого достижения. Матрица средних времен достижения определяется по формуле:

(16)

где

- фундаментальная матрица (15);

- диагональная матрица, образованная из фундаментальной заменой всех элементов, кроме диагональных, нулями;

D - диагональная матрица с диагональными элементами, ;

Е - матрица, все элементы которой равны единице.

Матрица дисперсий времени первого достижения имеет несколько более сложный вид:

(17)

где кроме уже упомянутых обозначений встречается новое - (, обозначающее диагональную матрицу, полученную из матричного произведения матриц .

2.3. Управляемые марковские цепи

Как указывалось выше, под управляемыми марковскими процессами понимают такие, у которых имеется возможность до определенной степени управлять значениями переходных вероятностей. В качестве примеров таких процессов можно привести любые торговые операции, у которых вероятность сбыта и получения эффекта может зависеть от рекламы, мероприятий по улучшению качества, выбора покупателя или рынка сбыта и т.д.

Очевидно, что при создании математических моделей в данном случае должны фигурировать следующие компоненты:

- конечное множество решений (альтернатив) , где - номер состояния системы;

- матрицы переходов соответствующие тому или иному принятому k-му решению;

- матрицы доходов (расходов) , также отражающие эффективность данного решения.

Управляемой цепью Маркова (УЦМ) называется случайный процесс, обладающий марковским свойством и включающий в качестве элемента математической модели конструкцию (кортеж) . Решение, принимаемое в каждый конкретный момент (шаг процесса), назовем частным управлением.

Таким образом, процесс функционирования системы, описываемой УЦМ, выглядит следующим образом:

- если система находится в состоянии и принимается решение , то она получает доход ;

- состояние системы в последующий момент времени (шаг) определяется вероятностью , то есть существует вероятность того, что система из состояния перейдет в состояние , если выбрано решение .

Очевидно, общий доход за n шагов является случайной величиной, зависящей от начального состояния и качества принимаемых в течение хода процесса решений, причем это качество оценивается величиной среднего суммарного дохода (при конечном времени) или среднего дохода за единицу времени (при бесконечном времени).

Стратегией p называется последовательность решений:

(18)

где

- вектор управления.

Задание стратегии означает полное описание конкретных решений, принимаемых на всех шагах процесса в зависимости от состояния, в котором находится в этот момент процесс.

Если в последовательности (векторе) p все одинаковы, то такая стратегия называется стационарной, т.е. не зависящей от номера шага. Стратегия называется марковской, если решение , принимаемое в каждом конкретном состоянии, зависит только от момента времени n, но не зависит от предшествующих состояний.

Оптимальной будет такая стратегия, которая максимизирует полный ожидаемый доход для всех i и n. В теории УМЦ разработаны два метода определения оптимальных стратегий: рекуррентный и итерационный.