a) последовательность возрастает, если

b) последовательность убывает, если

c) последовательность не убывает, если

d) последовательность не возрастает, если

Предел последовательности

Т.к. N числа имеет 1 т. бесконечности, то для числовой последовательности существует

Замечания:

1. А может быть конечным или бесконечным

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, а если нет – расходящейся.

2. Общие свойства сходящихся последовательностей аналогичны свойствам ф-ий, имеющих конечный предел.

3. Арифметические свойства сходящихся последовательностей аналогичны свойствам ф-ий, имеют конечный предел

4. Переход к пределам в неравенствах, для сходящихся последовательностей аналогичен ф-ям, имеющим конечный предел.

5. Определение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей и их свойства аналогичны соответствующим определениям и свойствам ф-ии непрерывного аргумента.

Критерии существования предела последовательности

1. Критерии Коши (произведения последовательностей)

Для существования предела последовательностей необходимо и достаточно, чтобы для любой

Последовательность, для которой выполняется признак Коши – фундаменталная

2. Критерий Вейерштрасса (монотонность последовательности)

а) неубывающие последовательности, ограниченные сверху, имеют предел.

б) не возрастающие последовательности, ограниченные снизу, имеют предел.

Доказательство(а):