3.

Понятие e окрестности в точке х0

e окрестности в точке х0 (Ue (x0)) – симметричный интервал радиуса e с центром в точке х0

Приколотой e окрестности в точке х0 называется e окрестности этой точки без самой х0

Открытые и замкнутые множества

Множество - называется открытым, если для любой точки этого множества найдется такая , которая целиком содержится в этом множестве.

, точки, обладающие этими свойствами, называются внутренними точками.

(a,b) – открытое множество:

Точка x X B любой окружности содержит – граничной точки множества X

Точки a и b – граничные [a;b] или (a;b).

Граничные точки могут и принадлежать, и не принадлежать множеству отрицательных. Множество своих границ не содержит.

Точка x называется предельной точкой X, если любое - окружности содержит хотя бы точек X.

(x-предельная для X) ( (x) ( x, x) (x, (x) )

точки a,b являются предельными как для отрезка, так и для интервала ( [a;b] и (a;b) )

a,b отрезку x

a,b X

Граничных точек – 2

Предельных – целый отрезок (интервал)

Точка изолирована – если найдётся (x), которая .

Совокупность предельных и изолированных точек – называется точками соприкосновения множества X.

Множество X замкнутое, если оно содержит все свои точки прикосновения.

Замкнутым множеством является сегмент [a;b].

Открытость и замкнутость – не альтернативные понятия. Существуют множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми.

Например, [a;b) или (a;b].

Или одновременно открытые и замкнутые (Æ).

Принципы существования предельной точки (Вейерштрасс)

Всякое ограниченное бесконечное множество определяет хотя бы одну предельную точку. Для неограниченных бесконечных множеств это утверждение неверно.

(Множество целых чисел предельных точек не имеет, так как состоит их одних изолированных точек).

_

Для распространения принципа Вейерштрасса на неограниченное множество вводятся новые объекты: +бесконечность, -, которые числами не являются. Вводятся правила действия над ними.

Бессмысленно:

Понятие функции.

Основной объект - функция

Основной предмет - предел.

Функция – закон, по которому элементу ставится

в соответствии ед. элемент .

Д/з1: Область определения функции

Д/з2: Область значения функции (f) – E[f] C Y, такое, что

(Каждый элемент множества E имеет прообраз во множестве.

Замечание 1: в определении не требуется, чтобы каждый элемент X имел

прообраз в Y.

Говорят, что функция отображает множества X во

множество Y. Всегда отображает множество X на

множестве E.

Не требуется, чтобы элементы E имели единственный прообраз во множестве X.

Д/з: Отображение, осуществляемых функций , называется взаимно однозначным отображением множества X на Y , если каждый элемент Y имеет единственный прообраз множества X. .

Д/з: Две функции равны, если:

1.) .

2.) совпадают законы соответствия.

Пример: 1) Равны ли функции и

Нет, так как .

2) и

Д/з: Две функции совпадают на множестве X1, с вкл. в пересечение областей определения функций , если для любой совпадает с .

Пример: и совпадают на множестве

Д/з: выписать определения чётных, нечётных, периодичных функций; их свойства и свойства симметрии графиков, сп. зад. функций с примерами.

Общие свойства функций.

1) Ограниченность. Сводится к ограниченности множества значений.

Функция ограничена, существует , что для

- огранич.