Прошли тысячелетия, прежде чем человечество в ходе своей общественно-производственной деятельности осознало необходимость выразить в определенных понятиях установленные им прежде всего в природе две тенденции: наличие строгой упорядоченности, соразмерности, равновесия и их нарушения.

Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, геометрическую строгость строения пчелиных сот, последовательность и повторяемость расположения ветвей и листьев на деревьях, лепестков, цветов, семян растений и отобразили эту упорядоченность в своей практической деятельности, мышлении и искусстве.

Понятие «симметрия» употреблялось в двух значениях. В одном смысле симметричное означало нечто пропорциональное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова — равновесие.

Греческое слово snmmetra означает однородность, соразмерность, пропорциональность, гармонию.

Познавая качественное многообразие проявлений порядка и гармонии в природе, мыслители древности, особенно греческие философы, пришли к выводу о необходимости выразить симметрию и в количественных отношениях, при помощи геометрических построений и чисел.

Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности, соразмерности, гармонии подавляла древнего человека своим совершенством, и это было использовано религией, различными представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в объективной действительности для доказательства всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный хаос. Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела (круг и шар) имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.

Следует обратить внимание и на учение Пифагора о гармонии. Известно, что если уменьшить длину струны или флейты вдвое, тон повысится на одну октаву. Уменьшению в отношении 3:2 и 4:3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. То, что важнейшие гармонические интервалы получаются при помощи отношений чисел 1, 2 и 3, 4, пифагорейцы использовали для своих мистических выводов о том, что «все есть число» или «все упорядочивается в соответствии с числами». Сами эти числа 1, 2, 3, 4 составляли знаменитую «тетраду». Очень древнее изречение гласит: «Что есть оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма сирен». Геометрическим образом тетрады является треугольник из десяти точек, основание которого составляют 4 точки плюс 3, плюс 2, а одна находится в центре.

В геометрии, механике — всюду, где мы имеем дело с отрезками прямых, мы встречаемся и с понятиями меры, сравнения и соотношения. Эти понятия являются отражением реальных отношений между предметами в объективном мире. Чтобы пояснить это положение, можно выбрать на данной прямой АВ любую третью точку С. Таким образом, совершается переход от единства к двойственности, и мысль этим самым приводит к понятию пропорции. Следует подчеркнуть, что соотношение есть количественное сравнение двух однородных величин, или число, выражающее это сравнение. Про- порция есть результат согласования или равноценности двух или нескольких соотношений. Следовательно, необходимо наличие не менее трех величин (в рассматриваемом случае прямая и два ее отрезка) для определения пропорции. Деление данного отрезка прямой АВ путем выбора третьей точки С, находящейся между А и В, дает возможность построить шесть различных возможных соотношений:

a:b ; a:c ; b:a ; b:c ; c:a ; c:b

при условии отметки соответствующей длины отрезков прямой бук- вами «а», «b», «с» и применения к данной длине любой системы мер. Проанализировав возможные случаи деления отрезка АВ на две части, мы приходим к выводу, что отрезок можно делить на:

1) две симметрические части a=b; 2) a:b = c:a

Так как c = a + b, то

a/b = (a + b)/a ;

( (a + b)/a очевидно, превосходит единицу); дело обстоит так же и в отношении а/b; значит, «а» превосходит «b» и точка «С» стоит ближе к В, чем к A.

Это соотношение a:b = c:a или AC/CB = AB/AC

может быть выражено следующим образом: длина АВ была разделе- на на две неравные части таким образом, что большая из ее частей относится к меньшей, как длина всего отрезка АВ относится

к его большей части:

3) a/b = b/c равноценно a/b = b/(a + b).

В этом случае «b» больше «а»; точка С ближе к А, чем к В, но отношения те же, что и во втором случае,

Рассмотрим равенство

a/b = c/a = (a + b)/a,

при котором отрезок АС длиннее отрезка СВ. Это общее простейшее деление отрезка прямой АВ, являющееся логическим выражением принципа наименьшего действия. Между точками А и В имеется лишь одна точка C, поставленная таким образом, чтобы длина отрез- ков АВ, СВ и АС соответствовала принципу простейшего деления; следовательно, существует только одно числовое выражение, соответствующее отношению a/b. Эту же задачу можно решить путем гео- метрического построения, известного как деление прямой на две неравные части таким образом, чтобы соотношение меньшей и боль- шей частей равнялось соотношению большей части и суммы длин обеих частей, а это и соответствует формуле

a/b = (a + b)/a,

которую называют «божественная пропорция», «золотое сечение» т.д.

Изучение объективной реальности и задачи практики привели к возникновению наряду с понятием симметрия и понятия асимметрии, которое нашло одно из своих первых количественных выражений в так назыываемом золотом делении, или золотой пропорции.

Пифагор выразил «золотою пропорцию» соотношением:

А:Н = R:B,

где Н и R суть гармоническая и арифметическая средние между величинами А и В.

R = (A + B)/2; H = 2AB/ (A + B).

Кеплер первый обращает вни- мание на значение этой пропорции в ботанике и называет ее sectio divina — «божественное сечение»; Леонардо да Винчи назы- вает эту пропорцию «золотое сечение».

Проведем некоторые преобразования вышеприведенной формулы. Прежде всего разделим на «b» оба элемента второго члена этого равенства и обозначим

a/b = x; тогда a/b = (a/b + 1)/(a/b),

или x2 = x + 1

Отсюда

x2 - x – 1= 0

Корнями этого уравнения являются

х = 1± Ö5/2 = 1,61803398 .

45

2

Это число обладает характернейшими особенностями. Обозначим это число буквой Ф.

Ф = (Ö5 + 1)/2 = 1,618…; 1/Ф = (Ö5 – 1) /2 = 0,618…;

Ф2 = -(Ö5 + 3)/2 = 2,618…

Оказывается, что геометрическая прогрессия, в основании которой лежит Ф, обладает следующей особенностью: любой член этого ряда равен сумме двух предшествующих ему членов. Ряд 1, Ф, Ф2, Ф3, ., Фn является одновременно и мультипликативным, и аддитив- ным, т. е. одновременно причастен природе геометрической прогрес- сии и арифметического ряда. Следует обратить внимание на то, что формула.

Ф = (Ö5 + 1)/2

выражает простейшее асимметрическое деление прямой АВ. С этой точки зрения данное отношение является «логической» инвариан- той, проистекающей из счислений отношений и групп. Пеано, Бертран Рассел и Кутюра показали, что исходя из принципа тождественности можно вывести из этих отношений и групп принципы чистой математики.