(5.34)

Подставляя это соотношение в формулу (5.32), получаем [12]

(5.35)

Коэффициент согласия изменяется от нуля до едини­цы. При расположение объектов по рангам рав­новероятно, поскольку в этом случае . Данный случай может быть обусловлен либо невозможностью ранжировки объектов по сформулированной совокупно­сти показателей, либо полной несогласованностью мне­ний экспертов. При , что достигается при нулевой энтропии (H=0), все эксперты дают одинаковую ранжи­ровку. Действительно, в этом случае для каждого фик­сированного объекта все эксперты присваивают ему один и тот же ранг j, следовательно, , a Поэтому и H=0.

Сравнительная оценка дисперсионного и энтропийно­го коэффициентов конкордации показывает, что эти ко­эффициенты дают примерно одинаковую оценку согла­сованности экспертов при близких ранжировках. Одна­ко если, например, вся группа экспертов разделилась в мнениях на две подгруппы, причем ранжировки в этих подгруппах противоположные (прямая и обратная), то дисперсионный коэффициент конкордации будет равен нулю, а энтропийный коэффициент конкордации будет равен 0,7. Таким образом, энтропийный коэффициент конкордации позволяет зафиксировать факт разделения мнений на две противоположные группы. Объем вычис­лений для энтропийного коэффициента конкордации не­сколько больше, чем для дисперсионного коэффициента конкордации.

3.4. Обработка парных сравнений объектов

При решении задачи оценки большого числа объектов (ранжирование, определение относительных весов, бал­льная оценка) возникают трудности психологического характера, обусловленные восприятием экспертами мно­жества свойств объектов. Эксперты сравнительно легко решают задачу парного сравнения объектов. Возникает вопрос, каким образом получить оценку всей совокуп­ности объектов на основе результатов парного сравнения, не накладывая условия транзитивности? Рассмотрим алгоритм решения этой задачи. Пусть m экспертов про­изводят оценку всех пар объектов, давая числовую оценку [12]

(5.36)

Если при оценке пары экспертов высказались в пользу предпочтения экспертов высказались наоборот и экспертов считают эти объекты равноценными, то оценка математического ожидания случайной величины равна [12]

(5.37)

Общее количество экспертов равно сумме

(5.38)

Определяя отсюда и подставляя его в (5.37), полу­чаем [12]

(5.39)

Очевидно, что Совокупность величин образует матрицу на основе которой можно по­строить ранжировку всех объектов и определить коэф­фициенты относительной важности объектов.

Введем вектор коэффициентов относительной важно­сти объектов порядка t следующей формулой [12]:

(5.40)

где - матрица математических ожиданий оценок пар объектов, - вектор коэф­фициентов относительной важности объектов порядка t. Величина равна [12]

(5.41)

Коэффициенты относительной важности первого по­рядка есть относительные суммы элементов строк мат­рицы X. Действительно, полагая t=1, из (5.40) получаем [12]

(5.42)

Коэффициенты относительной важности второго по­рядка (t=2} есть относительные суммы элементов строк матрицы X2 [12].

(5.43)

Если матрица Х неотрицательна и неразложима, то при увеличении порядка величина сходится к максимальному собственному числу матрицы Х [12]

(5.44)

а вектор коэффициентов относительной важности объек­тов стремится к собственному вектору матрицы X, соот­ветствующему максимальному собственному числу

(5.45)

Определение собственных чисел и собственных век­торов матрицы производится решением алгебраического уравнения [12]

(5.46)

где Е—единичная матрица, и системы линейных урав­нений [12]

(5.47)

где k – собственный вектор матрицы X, соответствующий максимальному собственному числу . Компоненты соб­ственного вектора есть коэффициенты относительной важности объектов, измеренные в шкале отношений.

С практической точки зрения вычисление коэффици­ентов относительной важности объектов проще произво­дить последовательной процедурой по формуле (5.40) при t=1, 2, … Как показывает опыт, 3-4 последователь­ных вычислений достаточно, чтобы получить значения и k, близкие к предельным значениям, определяемым уравнениями (5.46), (5.47).