Страница
7
Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:
в случае а) и
в случае б)
В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и
(соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.
Вычислив , получим:
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или
Откуда
и, следовательно,
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
;
но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
или
Случай 2.
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим
Случай 3.
Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и
Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:
откуда
Дуги γ и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса)
, следовательно в случае 1
;
в случае 2 и в случае 3
.
Итак, имеем окончательно:
,
или
; x > 0, y > 0, и
(1)
; x < 0, y < 0, и
Пример:
;
2. Заменив в (1) x на –x получим:
,
или
; x > 0, y > 0, и
(2)
; x < 0, y < 0, и
3. Выразить сумму через арккосинус
и
имеем
Возможны следующие два случая.
Случай 1: если
, то
Приняв во внимание, что обе дуги и
расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
и следовательно, , откуда
Случай 2: . Если
, то
,
откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если
, а случай 2, если
.
Из равенства следует, что дуги
и
имеют одинаковый косинус.
В случае 1 , в случае 2
, следовательно,
,
,
(3)
4. Аналогично
,