Алгебра и Начало анализаРефераты >> Математика >> Алгебра и Начало анализа
№ 21 Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b. Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством. Свойства логарифмов:
- ;
- ;
- Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: . Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством: x = , y = . Перемножим почленно эти равенства, получаем: xy = = . Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
- Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя: . Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
- Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания: . При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.
№ 22
- Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .
- Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
- Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
- Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной.
- Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.
№ 23
- Производная суммы равна сумме производных, если они существуют: .
- Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и .
- Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и .
- Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и .