Аксиоматика теории множеств
Рефераты >> Математика >> Аксиоматика теории множеств

Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 x, и если и x, то и {и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0} x, {0, {0}} x, {0, {0}, {0, {0}}} x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0, 1, … , n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …

Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), акси­ому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом суще­ствования классов В1—В7.

Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = (x x) ,т. е. х (х Y х х). (Такой класс Y суще­ствует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокра­щенной, символике эта последняя формула записывается так: X (M(X) (X Y X X)). Допустим M(Y). Тогда Y Y Y Y, что, в силу тавтологии (A A) A & & A, влечет Y Y Y Y. Отсюда по теореме дедукции получаем *M(Y)(Y Y Y Y), а затем, в силу тавтологии (B (A & A)) B , получаем и М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных пара­доксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).

Определения

X Irr Y означает y (y Y X) & Rel (X).

(X есть иррефлексивное отношение на Y.)

X Tr Y означает Rel (X) & uvw (uY & vY & wY &

& X &X & X X).

(X есть транзитивное отношение на Y.)

X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).

(X частично упорядочивает Y.)

X Con Y означает Rel(X) & uv (uY & vY & u ≠ v

X X).

X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).

(X упорядочиваетY.)

X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & Z (ZY &

& Z ≠ 0 y (y Z & v (v Z & v ≠ y X &


Страница: