5. АС Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое мно­жество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань. На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выпол­нялось F‘0 = b и F‘α = f‘u для любого α, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ α относительно упорядочения у, что v х и v F‘‘ α. Пусть β есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v мно­жества F‘‘ β относительно упорядочения v, принадлежащих x и не при­надлежащих F‘‘ β. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однознач­ной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством мно­жества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = β 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если α <0 γ <0 β, то g‘α, g‘γ y. Поэтому множество g‘‘ β является y-цепью в x. Согласно условию, и x существует верхняя грань w множества g‘‘ β. Так как множество верхних граней множества F‘‘ β (= g‘‘ β), не содержащихся в g‘‘ β, пусто, то w g‘‘ β, и, следовательно, w является единственной верхней гранью множества g‘‘ β (ибо всякое множество может содер­жать в себе не более одной своей верхней грани). Отсюда следует, что w есть максимальный относительно упорядочения y элемент множества х. (Действительно, если y и zх, то z должно быть верхней гранью g‘‘ β, что невозможно.)

6. Zorn (W. O.). Пусть z есть множество, а X есть класс всех взаимно однозначных функций f таких, что D(f)Оп и R(f)z. Из теоремы Хартогса следует, что X есть множество. Очевидно также, что 0 X. Отношение частично упорядочивает X. Каковы бы ни были две функции, принадлежащие одной и той же цени в X, одна из них является продолжением другой. Поэтому для любой цепи в Х объеди­нение всех принадлежащих ей функций есть снова взаимно однозначная функция, принадлежащая той же цепи. Следовательно, на основании Zorn, в X имеется максимальный элемент g, представляющий собой взаимно однозначную функцию, определенную на некотором порядковом числе я и принимающую значения из z. Допустим, что z - g‘‘ α ≠ 0. Пусть b z - g‘‘ α, и положим f = g{}. Тогда f X и gf, что противоречит максимальности g. Следовательно, g‘‘ α = z, т. е. α z. Посредством функции g отношение Еα, вполне упорядочи­вающее множество α, преобразуется в некоторое отношение, вполне упорядочивающее z.

Заключение

Система аксиом теории множеств была создана для решения задачи обоснования базовых положений современной математики. Таким образом существующие разделы математики можно считать a priori непротиворечивыми, поскольку все их доказанные высказывания логически могут быть сведены к аксиомам. В этом отношении аксиоматика выполнила свое предназначение.

Список литературы

1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.

2. Ляпин Е. С. Полугруппы. – М.: Физматгиз, 1960.

3. Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. Ю.А. Гастаева и И.Х. Шмаина. Под ред. Ю.А. Шихановича. М.: «Просвещение», 1968.