Можно доказать, что для любой свободной клетке транспортной таблице всегда существует цикл и притом единственный, одна из вершин которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные в базисных клетках. Если цена такого цикла, с плюсом в свободной клетке, отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза k, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки).

Применённый выше метод отыскания оптимального решения транспортной задачи называется распределённым; он состоит в непосредственном отыскании свободных клеток с отрицательной ценой цикла и в перемещении перевозок по этому циклу.

Распределительный метод решения транспортной задачи, с которым мы познакомились, обладает одним недостатком: нужно отыскивать циклы для всех свободных клеток и находить их цены. От этой трудоёмкой работы нас избавляет специальный метод решения транспортной задачи, который называется методом потенциалов.

5. Решение транспортной задачи методом потенциалов.

Этот метод позволяет автоматически выделять циклы с отрицательной ценой и определять их цены.

Пусть имеется транспортная задача с балансовыми условиями

Стоимость перевозки единицы груза из Ai в Bj равна C ij ; таблица стоимостей задана. Требуется найти план перевозок xij, который удовлетворял бы балансовым условиям и при этом стоимость всех перевозок бала минимальна.

Идея метода потенциалов для решения транспортной задачи сводиться к следующему. Представим себе что каждый из пунктов отправления Ai вносит за перевозку единицы груза (всё равно куда) какую-то сумму ai ; в свою очередь каждый из пунктов назначения Bj также вносит за перевозку груза (куда угодно) сумму bj . Эти платежи передаются некоторому третьему лицу (“перевозчику“). Обозначим ai + bj = čij ( i=1 m ;j=1 n) и будем называть величину čij “псевдостоимостью” перевозки единицы груза из Ai в Bj. Заметим, что платежи ai и bj не обязательно должны быть положительными; не исключено, что “перевозчик” сам платит тому или другому пункту какую-то премию за перевозку. Также надо отметить, что суммарная псевдостоимость любого допустимого плана перевозок при заданных платежах (ai и bj ) одна и та же и от плана к плану не меняется.

До сих пор мы никак не связывали платежи (ai и bj) и псевдостоимости čij с истинными стоимостями перевозок C ij. Теперь мы установим между ними связь. Предположим, что план xij невырожденный (число базисных клеток в таблице перевозок ровно m + n -1). Для всех этих клеток xij >0. Определим платежи (ai и bj) так, чтобы во всех базисных клетках псевдостоимости были ровны стоимостям:

čij = ai + bj = сij , при xij >0.

Что касается свободных клеток (где xij = 0), то в них соотношение между псевдостоимостями и стоимостями может быть, какое угодно.

Оказывается соотношение между псевдостоимостями и стоимостями в свободных клетках показывает, является ли план оптимальным или же он может быть улучшен. Существует специальная теорема: Если для всех базисных клеток плана xij > 0,

ai + bj = čij= сij ,

а для всех свободных клеток xij =0,

ai + bj = čij≤ сij ,

то план является оптимальным и никакими способами улучшен быть не может. Нетрудно показать, что это теорема справедлива также для вырожденного плана, и некоторые из базисных переменных равны нулю. План обладающий свойством :

čij= сij (для всех базисных клеток ) (1)

čij≤ сij ( для всех свободных клеток ) (2)

называется потенциальным планом, а соответствующие ему платежи (ai и bj ) — потенциалами пунктов Ai и Bj ( i=1, .,m ; j=1, .,n ). Пользуясь этой терминологией вышеупомянутую теорему можно сформулировать так:

Всякий потенциальный план является оптимальным.

Итак, для решения транспортной задачи нам нужно одно - построить потенциальный план. Оказывается его можно построить методом последовательных приближений, задаваясь сначала какой-то произвольной системой платежей, удовлетворяющей условию (1). При этом в каждой базисной клетке получиться сумма платежей, равная стоимости перевозок в данной клетке; затем, улучшая план следует одновременно менять систему платежей. Так, что они приближаются к потенциалам. При улучшении плана нам помогает следующее свойство платежей и псевдостоимостей: какова бы ни была система платежей (ai и bj ) удовлетворяющая условию (1), для каждой свободной клетки цена цикла пересчёта равна разности между стоимостью и псевдостоимостью в данной клетке : gi,j= сi,j - či,j.

Таким образом, при пользовании методом потенциалов для решения транспортной задачи отпадает наиболее трудоёмкий элемент распределительного метода: поиски циклов с отрицательной ценой.

Процедура построения потенциального (оптимального) плана состоит в следующем.

В качестве первого приближения к оптимальному плану берётся любой допустимый план (например, построенный способом минимальной стоимости по строке). В этом плане m + n - 1 базисных клеток, где m - число строк, n - число столбцов транспортной таблицы. Для этого плана можно определить платежи (ai и bj ), так, чтобы в каждой базисной клетке выполнялось условие :

ai + bj = сij (3)

Уравнений (3) всего m + n - 1, а число неизвестных равно m + n. Следовательно, одну из этих неизвестных можно задать произвольно (например, равной нулю). После этого из m + n - 1 уравнений (3) можно найти остальные платежи ai, bj, а по ним вычислить псевдостоимости, či,j= ai + bj для каждой свободной клетки.

Таблица №5