Содержание

Содержание

Введение

1. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочные характеристики

1.1. Генеральная и выборочная совокупности

1.2. Свойства выборочной совокупности

1.3. Вариационные ряды

1.5. Выборочное среднее и выборочная дисперсия

2. Точечная оценка математического ожидания

3. Свойства математического ожидания

Заключение

Литература

Введение

Математическая статистика – наука, изучающая методы исследования закономерностей в массовых случайных явлениях и процессах по данным, полученным из конечного числа наблюдений за ними.

Построенные на основании этих методов закономерности относятся не к отдельным испытаниям, из повторения которых складывается данное массовое явление, а представляют утверждения об общих вероятностных характеристиках данного процесса. Такими характеристиками могут быть вероятности, плотности распределения вероятностей, математические ожидания, дисперсии и т.п [6].

Найденные характеристики позволяют построить вероятностную модель изучаемого явления. Применяя к этой модели методы теории вероятностей, исследователь может решать технико-экономические задачи, например, определять вероятность безотказной работы агрегата в течение заданного отрезка времени. Таким образом, теория вероятностей по вероятностной модели процесса предсказывает его поведение, а математическая статистика по результатам наблюдений за процессом строит его вероятностную модель. В этом состоит тесная взаимосвязь между данными науками.

Очевидно, что для обнаружения закономерностей случайного массового явления необходимо провести сбор статистических сведений, т.е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых явлений. Собранный материал рассматривается лишь как некоторая пробная группа, одна из многих возможных пробных групп. Конечно, выводы сделанные на основании этого ограниченного числа наблюдений, отражают данное массовое явление лишь приближенно. Математическая статистика указывает, как наилучшим способом использовать имеющуюся информацию для получения по возможности более точных характеристик массового явления.

Определение некоторых числовых параметров, таких, как математическое ожидание, тоже входит в функции теории статистики.

1. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочные характеристики

1.1. Генеральная и выборочная совокупности

Для обнаружения закономерностей, описывающих исследуемое массовое явление, необходимо иметь опытные данные, полученные в результате обследования соответствующих объектов, отображающих массовое явление.

Зачастую реально существующую совокупность объектов можно мысленно дополнить любым количеством таких же однородных объектов. Такие совокупности объектов будем называть генеральными совокупностями.

Каждой генеральной совокупности соответствует случайная величина, определяемая изучаемым признаком объекта. Так как понятия генеральной совокупности и соответствующей случайной величины связаны с наблюдениями (измерениями) в неизменных условиях, то для ее обозначения будем использовать прописные буквы латинского алфавита (например, ).

Часть отобранных объектов из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или выборкой.

Результаты измерений изучаемого признака объектов выборочной совокупности порождают значений случайной величины . Число называется объемом выборки.

Наряду с генеральной совокупностью будем рассматривать независимых случайных величин, обозначаемых той же буквой, что и генеральная совокупность, и имеющих точно такое же распределение, как генеральная совокупность. Итак, – независимых экземпляров . Если – функция распределения генеральной совокупности , то у каждой случайной величины функция распределения также равна . Понятно, что получить значений случайной величины все равно что получить одно значение n-мерной случайной величины (). Поэтому каждую выборку объема мы можем рассматривать как одно значение n-мерной случайной величины ().

Поясним сказанное на примере. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая значения 1,2,3,4,5,6, каждое с вероятностью . Данную случайную величину, или в новой терминологии – генеральную совокупность, мы можем вообразить как урну, содержащую одинаковое количество шаров с номерами от 1 до 6. Производя выбор с возвращением трёх шаров, и записывая их номера, мы получим выборку объема 3 из генеральной совокупности . Вообразим себе три урны того же содержания, т.е. три копии урны . Выберем из каждой урны по одному шару. Получим выборку из генеральной совокупности .

1.2. Свойства выборочной совокупности

Для того чтобы по отобранным значениям некоторого количественного показателя можно было достаточно уверенно судить обо всей совокупности, полученная выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. правильно отражать пропорции генеральной совокупности. Предположим, например, что вся совокупность состоит из равного большого количества белых и черных шаров, помещенных в ящик, на дне которого имеется отверстие. Если черные шары сосредоточены в нижней части ящика, а белые – в верхней, то открывая некоторое небольшое количество раз заслонку в отверстии ящика, мы получим выборку только из черных шаров [3]. На основании такого способа отбора шаров мы не сможем сделать правильных выводов о содержании всей совокупности шаров, т.е. такая выборка не будет репрезентативной. Выборка будет представительной лишь тогда, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Для этого шары должны быть перемешаны.