Обучение сети обратного распространения в модели происходило по следующей схеме:

1. Всем весам присвоены начальные значения, выбранные случайным образом из диапазона (-0.5,+0.5) .

2. Выбирается очередная обучающая пара из обучающего множества и подается входной вектор на вход сети.

3. Проход вперед . Вычисляется выход сети. Вычисления выполняются послойно. Сначала вычисляются выходы первого нейронного слоя, затем они используются в качестве входов второго слоя; вычисляются выходы нейронов второго слоя, которые и образуют выходной вектор сети.

4. Вычисляется разность между выходом сети и требуемым выходом (целевым вектором обучающей пары), то есть каждый из выходов сети вычитается из соответствующей компоненты целевого вектора, чтобы получить ошибку.

5. Обратный проход . Корректируется веса сети так, чтобы минимизировать ошибку. Так как для каждого нейрона выходного слоя задано целевое значение, то ошибка находится с использованием модифицированного дельта-правила для персептрона. Выходы нейронов скрытого слоя не имеют целевых значений для сравнения, то для поиска ошибки (и коррекции весов) делается ряд шагов, составляющие алгоритмы подстройки весов выходного и скрытого слоев (см. Приложение 2. Программа, моделирующая сеть обратного распространения ).

6. Повторяются шаги со второго по пятый для каждого вектора обучающего множества до тех пор, пока ошибка на всем множестве не достигнет приемлемого уровня. Величина предельной ошибки изменяется в целях эксперимента.

В модели сети используется метод ускорения обучения для алгоритма обратного распространения, предложенный в [9], увеличивающий также устойчивость процесса. Этот метод, названный импульсом, заключается в добавлении к коррекции веса члена, пропорционального величине предыдущего изменения веса. Коэффициент импульса выбран равным 0.5.

В доказательстве алгоритмов обучения персептрона [3] и процедуры обратного распространения [9] ничего не говорится о том, сколько шагов требуется для обучения сети. В данной работе для контроля остановки процесса обучения этих сетей введена величина допустимой ошибки сети, которая изменяется в экспериментах с моделями, чтобы определить условие разделимости для конкретного обучающего множества.

Для исследования сети с обратными связями в работе моделируется предложенный Хопфилдом в [7] рекуррентный алгоритм анализа динамики ансамбля нейронов.

Состояние сети описывается множеством текущих значений сигналов от всех нейронов. На каждом шаге алгоритма меняется состояние лишь одного нейрона. Номер нейрона выбирается случайным образом. Он суммирует с весами Wij сигналы, поступающие от выходов нейронов сети по обратным связям и изменяет свое состояние в соответствии со значением пороговой функции. Состояние же остальных нейронов совпадает с состоянием на предыдущем шаге. Пороги возбуждения нейронов выбраны равными нулю. Состояние активного нейрона на текущем шаге алгоритма равно 1, неактивного - -1. Алгоритм использует модель обучения, предложенную Хэббом [6] (см. Приложение 2. Программа, моделирующая сеть Хопфилда.). Это - модель обучения без учителя, в которой вес возрастает, если активированы оба нейрона, источник и приемник. Таким образом, часто используемые пути в сети усиливаются, что объясняет феномен обучения сети.

В процессе релаксации к одному из устойчивых состояний, сети с обратными связями иллюстрируют ряд свойств, которые могут быть интерпретированы как релаксация стимула, выработка прототипа, бистабильность восприятия , которые показаны в данной работе на реализованной модели.

Все программы созданы в DELPHI и работают в операционной среде Windows.

3. Методика и результаты экспериментальных исследований.

3.1 Проблема функции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ.

Как было сказано, один из самых пессимистических результатов Минского показывает, что однослойный персептрон не может воспроизвести такую простую функцию как ИСКЛЮЧАЮЩЕЕИЛИ.

Для того, чтобы проиллюстрировать эту проблему, персептрону предоставляли четыре обучающих пары. К одному классу образов относили, подаваемое на измерительную сетчатку 5х7, шахматное поле и такое же поле, но с инвертируемым цветом. К другому классу - буквенные символы E и F (см. Рис.1 Приложение 1.). В результате распознавания персептрон классифицировал первый из указанных образов как относящийся к первому классу, а второй, третий и четвертый - ко второму. Т. е. персептрон ошибся на втором образе.

Эти же обучающие пары предоставили для обучения и распознавания модели двухслойной сети. В результате сеть все образы классифицировала правильно. Эти результаты согласуются с теорией представляемости персептрона и двухслойных сетей.

3.2 Исследование представляемости однослойной и двухслойной нейронной сети.

Исследование представляемости однослойной и двухслойной нейронных сетей производились на соответствующих моделях.

Результаты эксперимента с моделью персептрона показали, что персептрон способен моделировать функцию, разделяющую изображения цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, подаваемых на сетчатку, на два класса - четные и нечетные (см. Рис. 2. Приложение 1.). Величина допустимой ошибки сети была равна 0.001.

Следующий эксперимент был поставлен для выяснения способности персептрона и двухслойной сети обратного распространения классифицировать буквенно-цифровые изображения (десять цифр и двадцать шесть букв латинского алфавита) на два класса - цифры и буквы (см. Рис. 3. Приложение 1.). При уровне допустимой ошибки 0.001 персептрон путал классами цифры 1, 3, 7 и букву А. Сеть обратного распространения при том же уровне допустимой ошибки 0.001 путала классами цифры 3, 4, 5 и буквы S, I. Далее величина ошибки уменьшалась на порядок. Персептрон путал класс цифры 1, сеть обратного распространения - классами цифру 3 и буквы S, I. При уровне допустимой ошибки 0.00001 персептрон путал классами цифру 1 . Сеть обратного распространения при том же уровне допустимой ошибки 0.00001 путала класс буквы S. При уровне допустимой ошибки 0.000001 и персептрон, и сеть обратного распространения ошибок в классификации не допускали.

3.3 Релаксация стимула.

Как говорилось состояние сети Хопфилда описывается множеством текущих значений сигналов от всех нейронов, причем на каждом шаге алгоритма меняется состояние лишь одного нейрона, номер которого выбирается случайным образом. Он суммирует с весами Wij сигналы, поступающие от выходов нейронов сети по обратным связям и изменяет свое состояние в соответствии со значением пороговой функции. Пример последовательности состояний, которые проходит система нейронов при распознавании образов в модели Хопфилда, приведен на рис. 4. Приложение 1, где показаны промежуточные состояния. Левая картинка представляет собой исходный стимул, а крайняя правая - образ, записанный в памяти системы. При такой релаксации энергия системы уменьшается, достигая с течением времени одного из локальных минимумов.