r(t) = ex x(t) + ey y(t) + ez z(t) (6.1)

В случае прямолинейного движения можно одну из осей (например, ось X) направить вдоль направления движения, и написанное выражение сведется к уравнению лишь для одной проекции. Такое движение, задаваемое лишь одним уравнением x = x(t), называется одномерным. Если движение можно задать двумя уравнениями, например, x = x(t) и y = y(t), то такое движение совершается в плоскости (X,Y) и называется двумерным.

Рассмотрим основные действия, которые можно проводить с векторами, в том числе и с радиусом-вектором. Вектора можно складывать и вычитать по правилу параллелограмма или треугольника. Вектор можно умножать на скалярную величину, на число . В результате последней операции получится новый вектор, длина которого в больше прежнего. Эти операции легко записываются с использованием (6.1).

r = r1 + r2 = (exx1 + eyy1 + ezz1) + (exx1 + eyy1 + ezz1) =

=ex(x1+x2) + ey(y1 + y2) + ez(z1 + z1) (6.2)

= (exx + eyy + ezz) = exx + eyy + ezz (6.3)

Наряду с описанными, существуют еще операции умножения вектора на вектор. Их две: скалярное и векторное произведение векторов. Из их названий ясно, что результатом скалярного произведения векторов является скаляр, а результатом векторного произведения - вектор. Операция деления на вектор не определена.

Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов A и B обозначается (AB) или AB. Если эти векторы заданы в проекциях на координатные оси, то для их скалярного произведения получится выражение:

(AB) = (exAx + eyAy + ezAz) (exBx + eyBy + ezBz) =

= (exex)AxBx + (exey)AxBy + (exez)AxBz +

+ (eyex)AyBx + (eyey)AyBy + (eyez)AyBz +

+ (ezex)AzBx + (ezey)AzBy + (ezez)AzBz =

=AxBx+AyBy+AzBz (6.4).

При выводе (6.4) мы воспользовались тождествами:

(exex) = (eyey) = (ezez) = 1;

(exey)=(eyez)=(ezex)=0 (6.5).

Введем понятие проекции вектора А на вектор В, которую обозначают AB:

. Соответственно, проекция вектора В на вектор А равна: , и для скалярного произведения векторов получим выражение: (АВ) = .

Векторным произведением векторов A и B называется вектор С, численно равный произведению модулей векторов A и B на синус угла между ними. Вектор С перпендикулярен обоим векторам, т.е. перпендикулярен плоскости, в которой они лежат. Таких направлений существует два, см. рис.6.3. Из них выбирают одно по правилу правого буравчика: если вращать ручку буравчика от вектора A к вектору B в направлении меньшего угла, то поступательное движение буравчика укажет направление векторного произведения С. Записывается векторное произведение или . Величина векторного произведения равна , т.е. длина отрезка С численно равна площади параллелограмма, образованного отрезками А и B, см. рис.5.3. Таким образом, в окончательном виде получаем:

, где - единичный вектор, перпендикулярный векторам и .

Векторы, в том числе и радиус-вектор, могут меняться во времени, т.е. они являются функциями времени. Вектор может меняться разными способами. Во-первых, может меняться его длина (модуль) при неизменном направлении вектора в пространстве. Во-вторых, не меняясь по величине вектор может менять свое направление в пространстве. Наконец, вектор может меняться как по длине, так и по направлению. Проекции вектора на оси координат также являются функциями времени, т.е. переменными функциями. Переменные по какому- либо параметру функции могут быть продифференцированы или проинтегрированы по этому параметру. Дифференцирование и интегрирование векторных функций, в принципе, ничем не отличается от дифференцирования и интегрирования скалярных. Дифференцирование или интегрирование вектора можно свести к дифференцированию или интегрированию каждой из его проекций на оси координат. Производная радиуса-вектора по времени записывается в следующем виде: . То же самое можно записать в других обозначениях: .Здесь и в дальнейшем для удобства и краткости производную по времени будем обозначать точкой над функцией. Приращение (полный дифференциал) радиуса-вектора будет равен:

. Аналогично определяется и операция интегрирования векторной функции:

.Как видно из (6.8) и (6.10), специфика интегрирования и дифференцирования векторных функций состоит лишь в необходимости проводить эти операции трижды, по разу для каждой проекции.

В некоторых случаях для упрощения описания явления вместо трехмерных векторов рассматривают двумерные и даже одномерные. Это возможно, если движение тела является, к примеру, плоским или прямолинейным. В общем случае такое упрощение описания происходит, если движение тела можно задать менее чем тремя параметрами.

Еще одно понятие, которое нам надо ввести- вероятность. Все знают, что вероятность выпадения “орла” при бросании монеты равна 1/2. Но что это значит? Означает ли это, что при двух бросаниях монеты один раз выпадет “орел” , а второй раз “решка”, или это что-то другое? Введем строгое понятие вероятности, а потом рассмотрим задачу с бросанием монеты.