Исходными положениями теории положительного столба дуго-

вого разряда при высоком и сверхвысоком давлении служит уравнение Сага для термической ионизации в виде

α²p=AT5/2e-eUi/kT (24)

и теорема Больцмана в виде соотношения

na=nge(-eUa/kT) (25)

Здесь α—степень ионизации, р—давление газа, А—постоянная,

Т—температура газа, Ui—потенциал ионизации, k—постоянная

Больцмана, «na —концентрация возбуждённых атомов, n—концен-

трация нормальных атомов, Ua—потенциал возбуждения, g—отно-

шение статистических весов ga/gn возбуждённого и нормаль-ного состояния атома. Температура электронного газа принимается равной температуре нейтрального газа. Для упрощения задача учитывает лишь один «усреднённый» уровень возбуждения. Разрядная трубка предполагается расположенной вертикально.В любом другом положении конвекционные потоки газа искажают осевую симметрию режима газа.

Обозначим внутренний радиус разрядной трубки через R1, расстояние какой-либо точки от оси трубки—через r. Проведём

на расстоянии одного сантиметра один от другого два сече-ния, перпендикулярные к оси трубки, и выделим между ними элементарный объём при помощи двух концентрических цилин-дров с радиусами r и r+dr(рис. 8). Обозначим количество энергии, выделяемой разрядом в единицу времени, приходя-щееся на единицу длины трубки, через N1, а количество энергии, приходящееся на рассматриваемый нами элементарный объём,—через dN1. Количество энергии, излучаемой в едини-цу времени газом, заключённым

в единице длины всей трубки и

в рассматриваемом элементарном

объёме, обозначим через S1 и dS1.

Внутри трубки существует

непрерывный радиальный поток

тепла через газ по направлению

от оси к стенке. Обозначим че-рез dL1 избыток количества тепла, покидающего в единицу времени рассматриваемый элемент объёма через его внешнюю границу, над количеством тепла, проникающего в тот же объём в единицу времени через его внутреннюю границу со стороны оси трубки. Допустим, что конвекционные потоки газа строго вертикальны и не нарушают теплового режима газа.

Условие теплового баланса рассматриваемого элементарного

объёма напишется в общем виде так:

dN1=dL1+dS1. (26)

Вследствие наличия осевой симметрии все величины, характе-

ризующие состояние газа и режим разряда, одинаковы для

точек, находящихся на одном и том же расстоянии r от оси.

Так как площадь основания рассматриваемого элементарного

объёма равна 2пrdr, то для мощности, выделяемой в этом

объёме, можем написать:

dN1=2пrirEzdr, (27)

нде ir-плотность тока на расстоянии r от оси, а Ez-про-дольный градиент поля, одинаковый по всему поперечному сечению трубки. Обозначая коэффициент теплопроводности газа при температуре Т через λт, напишим для dL1, пренебрегая членами высшего порядка малости:

dL1=2п(r+dr)(λтdT/dr)r+dr-2пr(λтdT/dr)r=2пd(rλтdT/dr)/dr (28)

Допустим, что излучаемая газом энергия целиком покидает

разрядный промежуток без заметной реабсорбции в газе. Такое

допущение можно сделать потому, что абсорбируемое газом резонансное излучение составляет при большом давлении лишь незначительную долго общего излучения газа. Так как излу-чаемая за единицу временя энергия пропорциональна концен-трации возбуждённых атомов na, то для dS1 можем написать:

dS1=2пrCnadr, (29)

где С—постоянный множитель, не зависящий от Т. Подстановка

значений (29) и (28) в (26) даёт:

2пrirEzdr=2пd(rλтdT/dr)dr/dr + 2пrCnadr (30)

Пренебрегая малой долей тока, приходящейся на долю поло-

жительных ионов, и обозначая подвижность электронов через Кe, можем написать:

i=neeKeEz. (31)

Если обозначим правую часть уравнения Сага (24) через f1(T), а р в левой части заменим через nkТ, где n — концен-трация нейтральных частиц газа, то найдём:

α2= f1(T)/ nkТ. (32)

n пропорционально массе газа, заключённого в единице длины

трубки, g1 и обратно пропорционально квадрату радиуса труб-ки R1 и температуре газа в данной точке:

n=C1g1/TR12 (33)

Поэтому вместо (32) можем написать:

α=R1 √f1(T)/C1k/ √g1 =R1f2(T)/√g1 (34)

Согласно уравнению Ланжевена скорость движения электрона

в газе в поле напряжённости Еz равна:

u=KeEz=aeλeEz/mv (35)

где v— средняя арифметическая скорость теплового движения

электронов, прямо пропорциональная квадратному корню из температуры электронного газа, в то время как λe обратно пропорционально n. Следовательно,

Ke=C2/nT1/2 (36)

Согласно определению величины α:

ne=αn (37)

Из (31), (34), (37) и (36) следует:

ir=EzRiC2f2(T)/g11/2 T1/2 (38)

где Т—температура газа на расстоянии r от оси. Из (38)

и (27) следует:

dN1=2пrEr2R1C2f2(T)dr/g11/2 T1/2=2пrEz2R1f3(T)dr/g11/2,(39)

Согласно уравнению Больцмана (25):

na=nge(-eUa/kT)=C1gg1e(-eUa/kT)/TR12=g1f4(T)/ R12, (40)

где f4(T)= C1ge(-eUa/kT)/T.

Вставляя это значение na в (29) и заменяя Сf4(Т) через f5(Т), находим:

dS1=g12пrf5(Т)dr/R12. (41)

Подстановка (39), (28) и (41) в (26) даёт

Er2R1f3(T)/g11/2=d(rλтdT/dr)/rdr+g1f5(Т)dr/R12 (42)

В уравнении (42) f3(T) и f5(T), а также λт-функции одного только переменного Т. Поэтому (42) представляет собой

дифференциальное уравнение, связывающее переменные Т и r.

Граничными условиями, которым должно удовлетворять решение

этого уравнения, являются: а) при r=R условие Т=Тст, где Тст — температура стенки разрядной трубки; б) при r=0 условие dT/dr = 0, так как на оси трубки температура газа имеет максимальное значение.

Все величины, характеризующие разряд, являются функциями

от одного только Т. Поэтому решение уравнения (42) могло

бы дать полное решение всех количественных вопросов, связанных с данным типом разряда. Однако значение уравнения (42) заключается главным образом в том, что путём перехода к безразмерным величинам оно приводит к характерным для данного типа разряда законам подобия, позволяющим перено-сить количественные результаты, установленные эксперимента-льно для одних значений N1, R1 и g1 на режим разряда при других значениях этих величин. Этот приём аналогичен тому, который применяется для решения некоторых задач гидродина-мики также лишь на основании анализа дифференциального уравнения и экспериментальных измерений на моделях, постро-енных в соответствии с законами подобия гидродинамики. В данном случае подобными являются два разряда, в которых в соответственных точках, характеризуемых одной и той же величиной отношения r/R1, температура газа одна и та же.