Существует и другая проблема методической науки. Случается, что методология научного знания разработана, но для появления методической концепции требуется время, необходимое и для теоретических обобщений, и для анализа практики обучения, и для экспериментальной проверки теоретических положений. Например, в психолого-педагогических исследованиях речь идет о личностно ориентированных технологиях обучения, но на практике ни одна из них не используется (а может быть, и не может быть использована в условиях классно-урочной системы обучения в школе).

Рассмотрим становление методической теории на примере функционирования и развития теории формирования математических понятий. Термины "функционирование" и "развитие" науки ввел В.М.Розин. Одной из побуждающих сил ее функционирования является анализ противоречий, проблем и различных затруднений, возникающих в научном мышлении и деятельности. Развитие науки побуждается, с одной стороны, логикой научного познания (его требованиями, идеалами, ценностями), с другой — накоплением большого числа противоречий, рассогласований в научных представлениях. В число проблем входят и те, которые возникают в практике: описание новых объектов, включение в теорию знаний, полученных о них, построение концепций новой объектной области и др. Математик и логик А.В.Гладкий справедливо заметил, что ошибки в процессе познания неизбежны и моменты их обнаружения и исправления являются в этом процессе ключевыми. "Не будет слишком большим преувеличением сказать, что все наше знание возникает, в конечном счете, из ошибок и их исправления" [2, с. 160]. Одним из первых, кто теоретически обосновал период перехода от нормального функционирования науки в рамках устоявшейся парадигмы к новому знанию, к новой парадигме, был Томас Кун. Смену парадигмы он назвал научной революцией. Для ученого она означает переход из одного мира в другой, полностью отличный от первого. Он связан со значительными затруднениями по ряду причин. Прежде всего, с точки зрения всех существующих стандартов новая парадигма всегда будет казаться хуже старой. Она не так хорошо соответствует уже накопленным наукой фактам, решает меньше проблем, ее технический аппарат менее разработан, понятия менее точны и т.п. Для того, чтобы совершенствовать ее, раскрыть ее потенциальные возможности, нужны ученые, способные принять новую парадигму и начать ее развивать.

Модель развития науки Т.Куна выглядит следующим образом: существование общепризнанной парадигмы -> рост числа аномалий, приводящий к кризису -> научная революция, означающая смену парадигм.

Становление методической науки проходит по тем же законам, которые определяют развитие любого научного знания. Рассмотрим в качестве примера развитие теории формирования математических понятий в средней школе. Многие десятилетия она функционирует в рамках объектной парадигмы (термин введен автором статьи). Перечислим основные ее положения, заимствованные в формальной логике, в которых выражены знания о структуре и способе образования понятий:

• термин "понятие" применяется для обозначения мысленного класса объектов реальной действительности и нашего сознания;

• каждое понятие объединяет в себе класс объектов — объем этого понятия — и характеристическое свойство, присущее всем объектам данного класса и только им, — содержание понятия;

• содержание понятия раскрывается его определением.

Объектная трактовка не раз подвергалась критике со стороны психологов (Л.С.Выготский, М.А.Холодная) как несостоятельная с точки зрения представлений о психической природе научного понятия, механизмах его образования и функционирования. Выбор такой модели в качестве методологической основы построения теории формирования математических понятий в школе ведет к ряду противоречий и проблем в обучении математике. Так, в соответствии с объектной парадигмой введение нового понятия начинается с анализа всех свойств объектов и вычленения существенных признаков, которые затем "обобщаются" в понятии. С точки зрения теории познания этот способ характерен, прежде всего, для естествознания и обществознания, где понятия образуются на основе наблюдения реальных объектов. Математика с самого начала имеет дело не с реальными, а с идеализированными объектами. Математические понятия образуются на основе их изучения.

Исходя из объектной трактовки, методика формирования математических понятий в школе направлена, прежде всего, на обучение распознаванию объектов на основе определения. При этом недостаточное внимание уделяется изучению тех компонентов понятия, которые необходимы при его применении в практической деятельности, а именно, при решении задач, доказательстве теорем. Анализ деятельности ученика при изучении математики показывает, что для достижения результата он должен владеть целым комплексом суждений о каждом математическом объекте и знать логические связи между ними. Так, решая задачу по геометрии, он рассуждает: "В данном треугольнике два угла равны. Следовательно, он является равнобедренным. Но тогда медиана треугольника, проведенная к его основанию, является его высотой". И так далее. Очевидно, на первый план здесь вы ступает не распознавание геометрической фигуры по определению, а владение этим понятием как системой взаимосвязанных, логически упорядоченных суждений, которые называются свойствами и признаками понятия "равнобедренный треугольник". Формирование подобных систем суждений возможно лишь в результате доказательства теорем, решения задач. Но они рассматриваются вне связи с формированием понятия, поскольку к моменту их изучения оно считается сформированным. Нет сомнений в том, что в процессе изучения соответствующей теории формирование понятия продолжается, оно включается в связи с другими понятиями. Тем не менее, в учебных пособиях по общей методике преподавания математики процесс формирования понятия практически подменяется работой над его определением. В одном из наиболее известных пособий можно прочесть: "Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение". В основу методики изучения определений положена следующая точка зрения, заимствованная в формальной логике: определение рассматривается как логическая операция, как некий процесс выделения существенных черт объектов, в результате которого и "рождается" определение. В результате такого определения в школьной практике нашла широкое распространение ложная, на наш взгляд, тенденция — обучение "открытию" определений. Например, авторы одного известного пособия для учителей рекомендуют построить работу над определением угла, вписанного в окружность, таким образом: учащимся предлагается рассмотреть рисунок, на котором изображены окружность и 4 угла, среди них только один является вписанным. "Задается вопрос: Подумайте, какой из углов мы будем называть вписанным в окружность? После обсуждения различных ответов составляется определение". Внешне деятельность учащихся по "открытию" определений выглядит вполне современно, побуждает детей к анализу ситуации. В действительности такая работа сводится к угадыванию нужного ответа, она утомляет школьников, а главное, создает неверные представления о математике в целом. По поводу "открытия" определений Г.Фройденталь, автор известного пособия для учителей, писал: "Как можно определить нечто, коль скоро не знают того, что определяют?" [3, с. 48].