(16)

где Ф(М0) – критерий оптимизации;

a1, a2, a3 – весовые коэффициенты;

Мк0 – оптимальная масса к-ого ферросплава, кг;

Цк – цена к-ого ферросплава, руб/кг;

Mn, Si – заданный состав готовой стали.

Стадии формирования критерия представлены на рис. 5.

Рисунок 5 - Схема формирования критерия оптимизации

Усредненные значения масс ферросплавов, содержания марганца и кремния в готовой стали были определены на основе производственных данных и принимаются постоянными. Весовые коэффициенты для марганца и кремния путем несложных расчетов нашли свое численное значение, как-то 1.5*108 и 1.5*109, но в любой момент могут быть заменены в соответствие с решаемой задачей. Остальные данные поступают из основного алгоритма. Полученный критерий оптимизации есть функция, зависящая только от масс ферросплавов, значения которых оптимизируются алгоритмом оптимизации.

После исследования различных методов оптимизации (метода наискорейшего спуска, координатного поиска, поискового симплекс-метода) для реализации процедуры оптимизации наиболее эффективно было бы применить модифицированный симплекс-метод поиска минимума с автоматическим выбором шага, так как он имеет следующие достоинства: простота и компактность алгоритмов, широкий класс оптимизируемых функций, высокая скорость сходимости в сложных условиях. В основе симплекс-метода лежит процедура замены вершины Х симплекса с максимальным значением целевой функции Ф(Х) некоторой новой точкой с меньшей величиной Ф(х). Значения Ф(х) вычисляются по подпрограмме в следующем порядке.

1. Ввод исходных данных (размерности к, параметров a, b, c, точности Д, массива координат исходной точки х0, массива масштабов, определяющих размер исходного симплекса SC, массива ограничений, массива управляющих воздействий).

2. Формирование координат вершин исходного симплекса по формуле:

(17)

где xji – i-тая координата j-той вершины симплекса;

к – размерность задачи;

SCi – размер исходного симплекса;

x0i – координата исходной точки.

3. Проверка на ограничения: если координаты вершин не удовлетворяют ограничениям, производится уменьшение размеров исходного симплекса, изменяются масштабы, и осуществляется переход ко 2.

4. Для всех вершин симплекса оценивается величина целевой функции и заносится в массив Ф.

5. Выбираются Фl – минимальное значение целевой функции из массива Ф – и Фh – максимальное значение целевой функции Ф, а также соответствующие им номера вершин симплекса l и h.

6. Проверяется критерий остановки алгоритма: если Фh – Фl £ Д, то вычисление прекращают, и печатают решение координаты точки xl и величину Фl.

7. Координаты центра вершин симплекса без xh заносятся на место массива х0 по формуле:

(18)

8. Если h – номер отбрасываемой вершины совпадает с результатом (p = h), полученным на предыдущем шаге, то производят сжатие симплекса с помощью 14, в противном случае, если р≠h, точка xh заменяется новой точкой по формуле:

(19)

где Xhi – новая точка;

xhi – старая точка;

а – параметр алгоритма;

x0i – центр вершин симплекса;

i – номер координаты.

9. Проверка на ограничения: если новая точка не удовлетворяет ограничениям, то происходит уменьшение размеров симплекса и переход к 8.

10. Если значение Ф(х) в новой точке меньше Ф1, то точка xh продвигается в том же направлении по формуле:

(20)

где Хin+1 – координата, полученная при движении в направлении xh;

с – параметр алгоритма;

хih – координата, целевая функция которой наибольшая;

xi0 – центр вершин симплекса.

11. Проверка на ограничения: если новая точка не удовлетворяет ограничениям, то происходит снижение размеров симплекса и переход к 10;

12. Точка xh заменяется на xn+1, если в последней значение Ф(х) меньше. Итерация закончена, переход к новой, начинающейся с 5.

13. Если Ф(х) в новой точке больше Ф1, но меньше Фh. То новая точка xh включается в симплекс вместо старой, и начинается новая итерация.

14. Если новый шаг оказался неудачным, то есть Ф(xh) больше Фh или xh оказалась точкой, замененной на предыдущем этапе работы алгоритма (p=h), то движение производят к центру симплекса по формуле:

(21)

где Xhi – новая точка;

xhi – старая точка;

b – параметр алгоритма;

xi0 – центр вершин симплекса.

15. Проверка на ограничения: если новая точка не удовлетворит ограничениям, то производится уменьшение размеров симплекса и переход к 14.

16. Если сжатие удачно, то есть Ф(xh) меньше Фh и одновременно заменяется одна и та же точка не более двух раз подряд, то итерация считается законченной, переход к 5.

17. Если сжатие ошибочно или операции с одной и той же вершиной выполняются более двух раз подряд, симплекс сжимается к вершине х1 по формуле:

(22)

где Xj – координата j-той вершины симплекса;

х1 – координата, целевая функция которой наименьшая.

После этого переход к 4.

Подразумевая под переменными х массы ферросплавов, которые необходимо оптимизировать, можно, выполняя последовательно вышеописанные операции, получить значения оптимальных масс ферросплавов, которые и будут являться результатами работы алгоритма оптимизации.

Для исследования расчетов была взята марка стали 3пс/э, раскисляемая ферросилицием и силикомарганцем, и использованы данные о фактической работе ККЦ-1 ОАО "ЗСМК", приведенные в таблице 1.1 приложения 1. Первый расчет выполнялся по алгоритму, описанному в подразделе 2.2 дипломного проекта. Результаты расчета приведены в таблице 2.1 приложения 2 и показаны на рис.6 и 7. Из рис.6 видно, что расчетные значения марганца готовой стали несколько выше задания, а это предпочтительнее с точки зрения получения проката с требуемыми свойствами. Однако в условиях дефицита и высокой стоимости ферросплавов целесообразно работать на пониженных содержаниях марганца в стали. Поэтому необходим поиск компромисса между завышенным содержанием марганца в стали и себестоимостью стали. С этой целью в работе предложен критерий и процедура оптимизации, описанные выше. С учетом критерия оптимизации проводились исследования выбора масс ферросплавов, при этом структура критерия оставалась неизменной, то есть включала в себя стоимостную составляющую и составляющие, учитывающие минимальное отклонение расчетного состава стали от заданного, а варьировались только коэффициенты критерия, позволяющие изменять степень влияния его составляющих на расчеты. Варианты оптимизации с различными коэффициентами при стоимостной части приведены в таблице приложения 2 и на рис.6 и 7 , анализ которых показывает, что при росте степени влияния цены ферросплавов значения расчетных масс и содержание марганца и кремния в стали понижаются. Сопоставление масс ферросплавов при работе процедуры оптимизации с фактическими и расчетными массами приведено в таблицах 3.1 и 4.1 приложений 3, 4 и на рис. 8.