Содержание:

I. Вступление. История конструктивной математики

II.Основная часть.

1. Характерные черты конструктивной математики.

2. Конструктивная семантика как совокупность способов

понимания суждений в конструктивной математике.

3. Структура конструктивной математики.

1).Конструктивное действительное число.

2).Конструктивный объект.

3).Конструктивное метрическое пространство.

III.Заключение.Роль «конструирования» в математике.

IV. Список литературы

I.ВСТУПЛЕНИЕ

ИСТОРИЯ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ

Конструктивная математика, конструктивное направление в математике, -математика, строящаяся в соответствии с тем или иным конструктивным математическим мировоззрением, обыкновенно стремящимся связывать утверждения о существовании математических объектов с возможностью их построения и отвергающим в силу этого ряд установок традиционной теоретико – множественной математики, приводящих к появлению чистых теорем существования (в частности, абстракцию актуальной бесконечности и универсальный характер исключенного третьего закона). Конструктивизм в математике проявлялся на протяжении всей ее истории, хотя, по- видимому, только К.Гаусс впервые отчетливо выразил принципиальное для конструктивной математики различие становящейся (потенциальной) и актуальной математической бесконечности и возразил против употребления последней. Дальнейшие критические шаги в этом направлении были сделаны Л.Кронекером, А. Пуанкаре и особенно Л Брауэром. В критике Л. Брауэра, совпавшей по времени с кризисом оснований математики конца ХIX-начала XX в. в., энергично отвергалась как вера в экзистенциональный характер бесконечных множеств, так и убеждение в допустимости неограниченной экстраполяции классических логических принципов, в особенности закона исключенного третьего. В качестве альтернативы теоретико- множественному подходу Л.Брауэр, а затем и его последователи, разработали оригинальную программу построения математики, известную ныне под названием интуиционизм. Интуиционистскую математику Л.Брауэра можно считать первой систематической попыткой построения математики на конструктивной основе. Параллельно успехам интуиционистов в созданной Д.Гильбертом с целью обоснования теоретико – множественной математики доказательств теории был четко выявлен ряд первоначальных понятий, послуживших впоследствии отправной точкой отличных от интуиционизма конструктивных течений. Значительная часть соответствующих работ (при этом обнаружился достаточно широкий спектр толкования различными исследователями терминов «конструктивный», «эффективный» и т. д.) опиралась на успехи, достигнутые (опять – таки под влиянием идей Д. Гильберта) в изучении математического понятия алгоритма .Один из наиболее последовательных и законченных подходов к построению конструктивной математики на этой основе доставляется основанной А.А.Марковой советской школой конструктивной математики, формирование основных понятий которой относится к 50-м г.г. ХХ в. Сам термин «конструктивная математика» часто употребляется в узком смысле слова для наименования математики, строящейся советским конструктивным направлением.

II.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

1. ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ.

Конструктивная математика коротко может быть охарактеризована следующими основными чертами:

· предметом изучения являются конструктивные процессы возникающие в результате их выполнения конструктивные объекты;

· рассмотрение конструктивных процессов и объектов производится в рамках абстракции потенциальной осуществимости с полным исключением идеи актуальной бесконечности;

· интуитивное понятие эффективности связывается с точным понятием алгоритма;

· используется специальная, учитывающая специфику конструктивных процессов и объектов конструктивная логика.

Понятия конструктивного процесса и объекта являются первоначальными; представления о них имеют своим источником практическую материальную деятельность человека. Примерами конструктивных процессов могут служить сборка часов на конвейере, полная или частичная разборка их в ремонтной мастерской, набор текстов (с корректурами ) в типографии, формирование и расформирование железнодорожных составов и пр. Характерной чертой конструктивных процессов является протекающее по отдельным шагам оперирование в рамках некоторых четко указанных правил с элементарными, заведомо отличимыми друг от друга объектами, считающимися неразложимыми в ходе этих процессов. Возникающее в результате фигуры, составленные из исходных элементарных объектов, и считаются конструктивными объектами. Конструктивная математика не имеет необходимости углубляться в общее понятие конструктивного процесса и объекта, поскольку для ее нужд оказывается вполне достаточным один специальный вид конструктивных объектов – слова в том или ином алфавите.

Построение слов (это понятие также представляется первоначальным) происходит на следующей основе.

Вначале фиксируется некоторый алфавит, то есть список неразложимых, уверенно отличимых друг от друга элементарных знаков (букв). Каждая буква алфавита может копироваться; возникающие в результате последовательных актов такого копирования прямолинейные цепочки знаков считаются словами в исходном алфавите. К словам в данном алфавите удобно отнести также и пустое слово, то есть цепочку, не содержащую ни одного знака. Например, цепочки «аввссд» и «книга» являются словами в русском алфавите. При обращении со словами конструктивная математика – и в этом проявляется ее абстрактный характер – использует абстракции отождествления и потенциальной осуществимости. Первая из них позволяет, отвлекая от различий копий и оригинала, говорить о различных копиях данной буквы и о ней самой, как об отдельной букве. Например, говорят, что в слово «аввссд» три раза входит буква «в» русского алфавита, тогда как в действительности при написании данного слова воспроизводились три различных конкретных копии исходной буквы. Это соглашение естественным образом распространяется на одинаковые по написанию (равные графически) слова. Например, о двух конкретных словах: слове «книга» и слове «книга» говорят как об одном слове. В допущении абстракции отождествления проявляется предполагаемая конструктивной математикой первоначальная способность человека к «чтению» слов, то есть к многократному и устойчивому опознанию знаковых цепочек как одинаковых или различных. На это обстоятельство как минимальную предпосылку любой научной деятельности указывал Д.Гильберт. Абстракция потенциальной осуществимости позволяет пренебрегать в рассуждениях о написании слов реальными ограничениями в пространстве, времени и материале. Таким образом, о воображаемых очень длинных словах начинают рассуждать как о реально существующих, в частности считается возможным к любому данному слову приписать справа (или слева) любое другое слово. Отсюда вытекает и возможность рассмотрения сколько угодно больших натуральных чисел, а также сложения любых двух натуральных чисел, поскольку натуральными числами можно, например, считать слова вида О, OI, OII и т.д. в алфавите OI. Вместе с тем абстракция потенциальной осуществимости не позволяет рассматривать как своего рода завершенные объекты «бесконечные» слова и совокупность «всех» слов в данном алфавите (в частности, не рассматривается как завершенный объект и натуральный ряд). Такого рода рассмотрения требуют привлечения более сильной абстракции – абстракции актуальной бесконечности, которая отвергается конструктивной математикой.