Так как первой в нуль не обратилась производная четного порядка, то налицо экстремум, а именно минимум, ибо f¢¢¢¢(0) > 0.

II. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

1. РАЗЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна в конечном замкнутом промежутке [a, b]. До сих пор мы интересовались лишь ее максимумами и минимумами, теперь же поставим вопрос о разыскании наибольшего и наименьшего из всех значений, которые она принимает в этом промежутке; по известному свойству непрерывных функций, такие наибольшее и наименьшее значения существуют. Остановимся для определенности на наибольшем значении.

Если оно достигается в некоторой точке между a и b, то это одновременно будет одним из максимумов (очевидно, наибольшим); но наибольшее значение может достигаться и на одном из концов промежутка, a или b (Рис. 5). Таким образом, нужно сравнить между собой все максимумы функции f(x) и ее граничные значения f(a) и f(b); наибольшее из этих чисел и будет наибольшим из всех значений функции f(x) в [a, b]. Аналогично разыскивается и наименьшее значение функции.

Рис. 5

Если желают избежать исследования на максимум или минимум, то можно поступить иначе. Нужно лишь вычислить значения функции во всех «подозрительных» по экстремуму точках и сравнить их с граничными значениями f(a) и f(b); наибольшее и наименьшее из этих чисел, очевидно, и будут наибольшим и наименьшим из этих значений функции.

Замечание. В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда между a и b оказывается лишь одна «подозрительная» точка x0. Если в этой точке функция имеет максимум (минимум), то без сравнения с граничными значениями ясно, что это и будет наибольшее (наименьшее) значение функции в промежутке (Рис. 6). Часто в подобных случаях оказывается более простым произвести исследование на максимум и минимум, чем вычислять и сравнивать частные значения функции (особенно, если в состав ее выражения входят буквенные постоянные).

Важно отметить, что сказанное приложимо в полной мере и к открытому промежутку (a, b), а также к бесконечному промежутку.

Рис. 6

Замечание.

Нужно обратить внимание на следующее. При разыскании наибольшего или наименьшего значения функции для определенного промежутка изменения аргумента легко может оказаться, что внутри этого промежутка вовсе нет корней производной для других «подозрительных» значений. Это свидетельствует о том, что в рассматриваемом промежутке функция оказывается монотонно возрастающей или убывающей и, следовательно, достигает как наибольшего, так и наименьшего своего значения на концах промежутка.

III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фихтенгольц Г. М.

Основы математического анализа (1). – СПб.: Издательство «Лань», 2001. – 448 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература).

2. Кудрявцев Л. Д.

Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. – М.: Высш. школа, 1981, т. I. – 687 с., ил.

3. Фролов Н. А.

«Дифференциальное и интегральное исчисление».

Государственное учебно-педагогическое издание министерства просвещения РСФСР. Москва – 1955.

4. Хинчин А. Я.

«Краткий курс математического анализа».

Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва – 1955 г.

5. Стефан Банах.

«Дифференциальное и интегральное исчисление»

Государственное издательство физико-математической литературы. Москва - 1958 г.