СОДЕРЖАНИЕ

i. Изучение хода изменения функции

1. Условие постоянства функции. стр. 2

2. Условие монотонности функции. стр. 3

3. Максимумы и минимумы; необходимые

условия. стр. 5

4. ПЕРВОЕ ПРАВИЛО. стр. 7

5. ВТОРОЕ ПРАВИЛО. стр. 10

6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. стр. 11

7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫСШИХ ПРОИЗВОДНЫХ. стр. 14

II. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

1. РАЗЫСКАНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ

ЗНАЧЕНИЙ. стр. 15

III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. стр. 19

I. Изучение хода изменения функции

1. Условие постоянства функции.

При изучении хода изменения функции на первом месте появляется вопрос об условиях, при которых функция сохраняет в данном промежутке постоянное значение или изменяется в нем монотонно.

Теорема. Пусть функция f(x) определена в промежутке X и имеет внутри него конечную производную f¢(x),а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X постоянной, достаточно условие

f¢(x)=0 внутри X.

Доказательство. Пусть это условие выполнено. Фиксируем некоторую точку x0 из промежутка X и возьмем любую другую его точку x. Для промежутка [x0, x] [x, x0] удовлетворены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно можем написать

f(x) – f(x0)=f¢(c)(x - x0),

где c содержится между x и x0, а значит, заведомо лежит внутри X. Но, по предположения, f(c)=0, так что для всех x из X

f(x)=f(x0)=const,

и наше утверждение доказано.

Заметим, что высказанное условие, очевидно, является и необходимым для постоянства функции.

В интегральном исчислении важное приложение найдет вытекающее отсюда простое

Следствие. Пусть две функции f(x) и g(x) определены в промежутке X и внутри его имеют конечные производные f¢(x) и g¢(x), а на концах (если они принадлежат X) сохраняют непрерывность. Если при этом

f¢(x) = g¢(x) внутри X,

то во всем промежутке X эти функции разнятся лишь на постоянную:

f(x) = g(x) + C (C = const).

Для доказательства достаточно применять теорему к разности f(x)-g(x); так как ее производная f(x)-g(x) внутри X сводится к нулю, то сама разность в X будет постоянной.

Пример. Рассмотрим в виде примера функции arctg x и

Легко проверить, что их производные совпадают во всех точках x, исключая x=1, x=-1 (где вторая из функций теряет смысл). Поэтому тождество

Оказывается установленным лишь для каждого из промежутков

x1 = (-1, 1), x2 = (-¥, -1), x3 = (1, +¥)

в отдельности. Любопытно, что и значения постоянной C для этих промежутков будут различными. Для первого из них C = 0 (в чем убеждаемся полагая x=0), а для двух других имеем, соответственно, C=p/2 или C=-p/2 (что легко усмотреть, если, например, устремлять x к –¥ или +¥). Все эти соотношения также могут быть доказаны элементарно.

Замечание. Значение доказанной теоремы проявляется в теоретических исследованиях и вообще в тех случаях, когда функция задана так, что из ее определения непосредственно не вытекает, что она сохраняет постоянное значение.

2. Условие монотонности функции.

По производной функции можно судить о возростании (убывании) самой функции в данном промежутке.

Теорема1. Пусть функция определена на промежутке и имеет внутри него производную, а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X монотонно возрастающей (убывающей) в узком смысле, достаточно условие:

f¢(x)>0 (<0) внутри X.

Доказательство проведем для случая возрастания. Пусть же указанное для этого случая условие выполнено. Возьмем два значения x¢ и x¢¢ (x¢<x¢¢) из X, и к функции f(x) в промежутке [x¢, x¢¢] применим формулу Лагранжа:

f(x¢¢) – f(x¢) = f¢(c)(x¢¢ - x¢) (x¢<c<x¢¢).

Так как f¢(c)>0, то

f(x¢¢)>f(x¢),

и функция f(x) будет строго возрастающей.

На этот раз высказанное условие уже не является в полнлй мере необходимым. Утверждение теоремы сохраняет силу, например, и в том случае, если производная f¢(x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка X. В этом легко убедится если применить теорему в отдельности к каждой из частей, на которые основной промежуток разбивается упомянутыми точками.

Установленная связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически совершенно очевидна, если вспомнить, что производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею – идет ли вверх или вниз и сама кривая (рис. 1). В отдельных точках касательная при этом может оказаться и горизонтальной, что отвечает обращению производной в нуль.

Рис. 1

Примеры. 1) Простейший пример последнего обстоятельства доставляет функция f(x) = x3: она возрастает, и тем не менее производная ее f¢(x) = 3x2