Признак Даламбера.

Теорема 7: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда а) при ряд сходится; b) при ряд расходится.

Доказательство.

a) Пусть и . Докажем, что ряд сходится. По определению предела числовой последовательности для любого существует номер N такой, что при выполняется неравенство . Отсюда следует, что . (8)

Т.к. , то можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство . Полагая , на основании правого из неравенств (8) имеем , или для n=N, N+1, N+2, … Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем

т.е. члены ряда (9)

меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии:

(10)

Т.к. , то ряд (10) сходится. Тогда согласно признаку сравнения ряд (9) также сходится. Но ряд (9) получен из данного ряда в результате отбрасывания конечного числа первых членов, следовательно, по теореме 1 ряд сходится.

b) Пусть теперь. Докажем, что ряд расходится. Возьмем настолько малым, чтобы . Тогда при в силу левого из неравенств (8) выполняется неравенство или . Таким образом, члены ряда, начиная с некоторого номера N, возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда не стремится к нулю при . Следовательно, согласно теореме 4, ряд расходится.

Замечание. При ряд может, как сходится, так и расходится. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

Пример: Ряд сходится, так как

Пример: Ряд расходится, так как

Признак Коши.

Теорема 8: Пусть дан ряд с положительными членами.

a) Если (11)

то он сходится; если же

(12)

то он расходится.

b) Если , (13)

то при q<1 ряд сходится, а при q>1 расходится, и при этом .

c) Если верхний предел , (14)

то ряд при q<1 сходится, а при q>1 расходится и при этом общий член ряда не ограничен.

Интегральный признак Коши.

Теорема 9: Пусть дан ряд

,

члены которого являются значениями некоторой функции f(x), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале [1, +¥). Тогда, если сходится, то сходится и ряд также расходится.

Список используемой литературы:

1. «Курс математического анализа», автор – Никольский С.М., г. Москва, изд. «Наука», 1990г.

2. «Высшая математика», автор – Щипачев А.В., г. Москва, изд. «Высшая школа», 1996г.