Теорема 3: Если ряд и сходятся и их суммы соответственно равны S и , то и ряд сходится и его сумма равна .

Доказательство. Пусть и - частичные суммы рядов и , а - частичная сумма ряда . Тогда

Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т.е. последовательность частичных сумм ряда сходится к . Следовательно

3. Необходимое условие сходимости ряда (критерий Коши).

Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало число такое, что при и (n и p – натуральные числа) было выполнено неравенство

.

В частности, если ряд сходится, то .

Теорема 4: Если ряд сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е. .

Доказательство. По условию ряд сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частные суммы ряда и . Отсюда . Т.к. и при , то

.

Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

4. Достаточные условия сходимости рядов.

Признак сравнения 1.

Теорема 5: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. Всякая сходящая последовательность является ограниченной.

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Т.к. ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют не убывающую последовательность: . Монотонная ограниченная последовательность сходится, т.е. сходится ряд .

Признак сравнения 2.

Теорема 6: Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через и соответственно частичные суммы рядов и . Из неравенства следует, что

(7)

Если ряд сходится, то по теореме 5 (необходимость) последовательность его частичных сумм ограничена, т.е. для любого n , где М – некоторое число. Но тогда по формуле (7) и , откуда по той же теореме 5 (достаточность) следует, что ряд сходится.

Если же ряд расходится, то ряд также расходится, т.к., допустив сходимость ряда получим по только что доказанному сходимость ряда , а это противоречит условию теоремы.

Пример. Ряд сходится, т.к. сходится ряд из членов геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов ряда сходящейся геометрической прогрессии: .

Пример. Ряд расходится, поскольку его члены не меньше членов гармонического ряда , а гармонический ряд расходится.