План:

I. Введение

II. Апории Зенона

- Ахилл и черепаха

- Дихотомия

- Стадий

III. Парадокс лжеца

IV. Парадокс Рассела

I. Введение.

Парадокс — это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы. Наиболее резкая форма парадокса — антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.

Особой известностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках — математике и логике. И это не случайно.

Логика — абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит в конечном счете из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которые должна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя, очевидно, назвать наблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.

Конструируя новую теорию, ученый обычно отправляется от фактов, от того, что можно наблюдать в опыте. Как бы ни была свободна его творческая фантазия, она должна считаться с одним непременным обстоятельством: теория имеет смысл только в том случае, когда она согласуется с относящимися к ней фактами. Теория, расходящаяся с фактами и наблюдениями, является надуманной и ценности не имеет.

Но если в логике нет экспериментов, нет фактов и нет самого наблюдения, то чем сдерживается логическая фантазия? Какие если не факты, то факторы принимаются во внимание при создании новых логических теорий?

Расхождение логической теории с практикой действительного мышления нередко обнаруживается в форме более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в форме логической антиномии, говорящей о внутренней противоречивости теории. Этим как раз объясняется то значение, которое придается парадоксам в логике, и то большое внимание, которым они в ней пользуются.

Один из первых и, возможно, лучших парадоксов был записан Эвбулидом, греческим поэтом и философом, жившим на Крите в VI веке до н. э. В этом парадоксе критянин Эпименид утверждает, что все критяне - лжецы. Если он говорит правду, то он лжет. Если он лжет, то он говорит правду. Так кто же Эпименид - лжец или нет?

Другой греческий философ Зенон Элейский составил серию парадоксов о бесконечности - так называемые “апории” Зенона.

То, что сказал Платон, есть ложь. Сократ Сократ говорит только правду. Платон

II. Апории Зенона.

Большой вклад в развитие теории пространства и времени, в исследование проблем движения внесли элеаты (жители города Элея в южной Италии). Философия элеатов опиралась на выдвинутую Парменидом (учителем Зенона) идею о невозможности небытия. Всякая мысль, утверждал Парменид, всегда есть мысль о существующем. Поэтому несуществующего нет. Нет и движения, так как мировое пространство заполнено все целиком, а значит, мир един, в нем нет частей. Всякое множество есть обман чувств. Из этого вытекает вывод о невозможности возникновения, уничтожения. По Пармениду ничто не возникает и не уничтожается. Этот философ был первым, кто начал доказывать выдвигаемые мыслителями положения

Элеаты доказывали свои предположения отрицанием утверждения, обратного предположению. Зенон пошел дальше своего учителя, что дало основание Аристотелю видеть в Зеноне родоначальника "диалектики"- этим термином тогда называлось искусство достигать истины в споре путем выяснения противоречий в суждении противника и путем уничтожения этих противоречий.

Ахилл и черепаха.Начнем рассмотрение зеноновских затруднений с апорий о движении “Ахилл и черепаха”. Ахилл — герой и, как бы мы сейчас сказали, выдающийся спортсмен. Черепаха, как известно, одно из самых медлительных животных. Тем не менее, Зенон утверждал, что Ахилл проиграет черепахе состязание в беге. Примем следующие условия. Пусть Ахилла отделяет от финиша расстояние 1, а черепаху — ½. Двигаться Ахилл и черепаха начинают одновременно. Пусть для определенности Ахилл бежит в 2 раза быстрее черепахи (т.е. очень медленно идет). Тогда, пробежав расстояние ½, Ахилл обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолеть отрезок ¼ и по-прежнему находится впереди героя. Далее картина повторяется: пробежав четвертую часть пути, Ахилл увидит черепаху на одной восьмой части пути впереди себя и т. д. Следовательно, всякий раз, когда Ахилл преодолевает отделяющее его от черепахи расстояние, последняя успевает уползти от него и по-прежнему остается впереди. Таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху. Начав движение, Ахилл никогда не сможет его завершить.

Знающие математический анализ обычно указывают, что ряд сходится к 1. Поэтому, дескать, Ахилл преодолеет весь путь за конечный промежуток времени и, безусловно, обгонит черепаху. Но вот что пишут по данному поводу Д. Гильберт и П. Бернайс:

“Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться”.

Принципиальная незавершаемость данной последовательности заключается в том, что в ней отсутствует последний элемент. Всякий раз, указав очередной член последовательности, мы можем указать и следующий за ним. Интересное замечание, также указывающее на парадоксальность ситуации, встречаем у Г. Вейля: