В предыдущем разделе мы уже получили многие важные соотношения, касающиеся момента импульса и его проекций. В этой главе будет доведено до конца решение задачи о квантовании момента количества движения пространственного ротатора и рассмотрены его свойства.

4.3.6.1.Согласно (4.75), не существует состояния объёмного ротатора с . Поэтому при действии на волновую функцию с максимально возможным значением , т.е. , оператор повышения становится аннигилятором – "уничтожителем"

. (4.95)

Совершенно так же оператор уничтожает состояние с

.(4.96)

4.3.6.2. Чтобы от оператора сдвига , не имеющего собственных значений, перейти к одному из операторов с конкретными собственными значениями и достаточно умножить (4.95) слева на и воспользоваться формулой (4.93):

.(4.96)

Отсюда на основании (4.64) и (4.91) следует

, т.е.

(4.98)

4.3.6.3. В силу того, что постоянная определяет квадрат модуля момента импульса, она может быть только положительной величиной, либо равной нулюи, соответственно,

(4.99)

При дискретных допустимых значениях lего минимальная величина равна нулю, а все остальные сдвигаются последовательно на единицу вверх

или (4.100)

4.3.6.4. Этим охарактеризованы все свойства момента импульса при свободном вращении, а также и при вращательном движении на эквипотенциальной сферической поверхности. Квадрат модуля , сам модуль вектора и возможные его проекции на ось zопределяются формулами

, где , т.е. (4.101)

(4.102)

, где т.е. .(4.103)

Таким образом, всякому конкретному значению модуля момента импульса отвечает возможное значение проекции, т.е. каждому уровню вращательной энергии соответствует возможных состояний пространственного ротатора. Уровень, определяемый квадратом момента импульса , соответственно, кратно вырожден,

4.3.6.5. В то время как проекция имеет конкретное значение, две другие проекции и , как мы говорили выше, остаются неопределенными. Это имеет наглядный физический смысл, который наиболее понятен из графической иллюстрации. На рис. 4.4 представлены возможные ориентации вектора при l=2 . Угол наклона вектора к оси zопределяется формулой

(4.104)

т.е, и угол никогда не равен 0. Это означает, что вектор совершает прецессионное движение вокруг оси z.

4.3.6.6. Обращаем еще раз внимание читателя на то, что такая ситуация порождена принципом неопределенности. Да и сама формула квантования момента импульса пространственного ротатора (4.102) в которой величина не просто пропорциональна квантовому числу l, а имеет более сложный вид, является по сути следствием этого принципа.

4.3.7. Энергетические уровни жесткого ротатора и его спектр

4.3.7.1. Поскольку квадрат момента импульса в жестком ротаторе однозначно связан с энергией (4.47), формула (4.101) позволяет легко рассчитать его уровни и спектральные термы (Т), т.е. уровни, выраженные в единицах измерения волнового числа (см–1 ) , являющегося характеристикой излучения

(4.105)

.(4.105)

(4.107)

Величина В, определяемая (4.107),называется вращательной постоянной ротатора.

4.3.7.2. Обозначим величину и составим таблицу 4.5 возможных значений энергии жесткого ротатора, а на рис. 4.5. представим его энергетическую диаграмму.

4.3.7.3. Подобно плоскому ротатору, энергетическая диаграмма жесткого ротатора демонстрирует расходящуюся систему уровней, однако значительно возрастает кратность вырождения. Расстояния между соседними уровнями увеличиваются с ростом квантового числа l, причем они линейно связаны с квантовым числом нижнего уровня l: