Как известно из законов термодинамики, давление идеального двухатомного газа зависит, главным образом, от температуры (), концентрации молекул () и среднеквадратичной скорости движения молекул . Таким образом, падение давления в х раз приводит к уменьшению среднеквадратичной скорости в раз. Если среднеквадратичная скорость не упадет ниже определенного предела, то это мало повлияет на вероятность проникновения частицы в другую среду.

Закачивание газа под большим давлением обеспечивает высокие скорости образования пузырьков. Как правило, начальная скорость подъема пузырька не велика, и вновь образовавшийся пузырек, достигнув минимального радиуса не успевает оторваться от поверхности, – в него попадает добавочный объем газа. Кроме того, высокая скорость образования пузырьков приводит к тому, что по одной оси одновременно поднимается несколько пузырьков.

При этом за счет прибавления добавочного объема, уровень воды в сосуде в целом незначительно увеличивается, а вот по оси подъема пузырьков высота водяного столба как бы «уменьшается» на суммарную величину высот одновременно поднимающихся пузырьков. То есть плотность воды с пузырьками меньше обычной плотности воды. Вследствие этого изменяется давление воды на уровне отверстия подачи газа, что приводит к еще меньшей производительности фильтрации.

5.2 Количественно-временные закономерности

Как было сказано выше, интенсивность очищения водной абсорбцией зависит от средней величины пузырьков (отношения площади S к объему V должно быть наибольшим), и глубины подъема h, напрямую определяющую время подъема τ. Считая, что пузырек имеет форму шара, отношение его площади (S=π2R2) к объему () определяется выражением:. В этом плане наибольшее практическое значение имеет отношение радиуса пузырька (R) к средней длине свободного пробега частиц (Lпч) при данных условиях. Чем больше радиус пузырька при фиксированной длине свободного пробега (при том же давлении), тем меньшее количество частиц имеет возможность достичь границы раздела за время подъема к поверхности. Чем меньше отношение , тем меньше рядов молекул отделяет конкретную частицу от границы раздела. Частица участвует в хаотическом движении, поэтому, при столкновении с другой частицей (частицами) она имеет примерно одинаковые шансы отскочить в 4 направлениях. Следовательно, вероятность того, что частица при столкновении примерно сохранит свое направление равна . Поэтому, в дальнейшем будем использовать выражение

В упрощенном варианте степень очистки пузырька определяется средней вероятностью каждой отдельно взятой частицы достичь поверхности и пересечь границу раздела. Обозначим вероятность символом «η». Она, в свою очередь, складывается из вероятности ее достичь за время подъема , где – характерный угол отклонения от вектора перемещения; вероятности перехода в водную среду , зависящей скорости и частицы , и вероятности быть удаленной от пузырька . Как известно, вероятность совпадения нескольких факторов равна произведению вероятностей этих факторов, то есть: , или:

.

С учетом этого, найдем радиальную вероятность (для частиц, удаленных от поверхности раздела на разные расстояния)

И общую вероятность для всех частиц объема, т.е., возможную степень очистки:

,

где -суммарное количество примесных веществ в пузыре, – общее количество вещества в объеме этого пузыря.

Приблизительные значения продолжительности и скорости подъема пузырька примерно определяется по следующему алгоритму.

а) По закону Архимеда FA = ρжgV, следовательно, подъемная сила, действующая на тело, погруженное в воду определяется выражением:

ma= ρжgV-mg,

б) откуда ускорение подъема равно:

a = g(ρжV-m)/m.

в) Как знает каждый, кто не спал на уроках физики с 7 класса, проделанный путь можно найти из выражения: h = υ0t + at2/2. Или, заменив t на τ, получим: h = υ0τ + aτ2/2. Если отверстие трубки фильтра не направлено вверх, то υ0 = 0, следовательно, h = aτ2/2, откуда:

.

Так как объем увеличивается по мере подъема, рекомендую для подстановки в эту формулу взять среднее его значение. Кроме того, изменение ускорения за счет роста объема и выталкивающей силы будет аннулирован за счет увеличения вязкостного сопротивления. Вязкое сопротивление определяется, как произведение коэффициента вязкости на половину площади пузырька:

При подъеме с глубины протекают одновременно 4 процесса:

– происходит уменьшение действующего давления;

– уменьшается внутренняя энергия газа, заключенного в пузырьке;

– происходит частичное перемешивание сред на границе раздела;

– меняется состав газа в пузырьке.

Уменьшение действующего давления. Как известно, давление воды на конкретной глубине определяется выражением Pв = ρжgh. Однако, на открытом воздухе действует и атмосферное давление Pатм, поэтому реальное давление на глубине h складывается из этих двух составляющих Pреал = Pв + Pатм, или Pреал = ρжgh + Pатм. Если считать, что при подъеме температура пузырька не меняется, то уменьшающееся давление воды приведет к уменьшению давления внутри пузырька. Пропорционально уменьшению давления пузырька будет возрастать его объем: Pреал = ρжgh + Pатм, V~1/Pреал; ΔP = ρжgΔh → ΔV~1/ΔP=1/ρжgΔh, таким образом, ΔV~1/Δh.

Перемешивание сред на границе раздела. Как было написано выше, при подъеме пузырек движется с некоторым ускорением, следовательно, его движение можно охарактеризовать средней скоростью υср на всем его пути вверх h.