Рис. 1 Кинематическая схема механизма

Количество степеней свободы механизма определяется по формуле Чебышева

W= 3n - 2p2 - p1

где n – количество подвижных звеньев

p2 – количество низших кинематических пар

p1 – количество высших кинематических пар

W= 3x5 - 2x5 - 4 = 15 – 10 – 4 = 1

1. Определяем передаточные отношения кинематических пар, их знаки и угловые скорости звеньев механизма. Передаточным отношением механизма, передающего вращательное движение, в технике принято называть отношением угловой скорости ведущего вала wI, кугловой скорости ведомого вала wII и обозначать его через U I- II, где индексы показывают номера валов. wI

U I- II = ¾¾ ( 1 )

wII

Если через r1 b r2 обозначить радиусы начальных окружных скоростей зубчатых колес, а через z1 и z2 число зубьев, то зависимость (1) можно записать в виде

wI z2 r2

U I- II = ¾¾ = ± ¾¾ = ± ¾¾ ( 2 )

wII z1 r1

Передаточное отношение считается положительным, если ведущий и ведомый вал вращаются в одинаковом направлении. Если вращение звеньев, передаточное отношение которых рассматривается, совершается в противоположных направлениях, то передаточное отношение отрицательно.

wI z2 60 wI 150

U I-II = ¾¾ = ¾¾ = ¾¾ = 2,857 Þ wII = ¾¾ = ¾¾¾ = 52,5 рад/c

wII z1 21 U I-II 2,857

wII z4 24 wII 52,5

U II-III = ¾¾ = - ¾¾ = - ¾¾ = - 1,6 Þ wIII = ¾¾ = ¾¾¾ = - 32,812 рад/c

wIII z3 15 U II-III 1,6

z6 26

UH III-IV = - ¾ = - ¾¾ = - 1,73

z5 15

z8 61

UH IV-V = - ¾ = ¾¾ = 3,05

z7 20

Выведем зависимость, связывающую угловые скорости wIII, wIV, wV звеньев III, IV и V механизма изображенного на рис. 1. Пусть звенья механизма движутся с заданными угловыми скоростями.

Относительное движение звеньев не изменится, если всем звеньям механизма сообщить дополнительное вращение с угловой скоростью равной по величине, но противоположной по знаку угловой скорости звена V.

После сообщения звеньям механизма дополнительного вращения с угловой скоростью - wV звено V будет неподвижно и, следовательно исходный планетарный механизм превратится в обыкновенный /рядовой/ с неподвижными осями О IV и ОV. Угловая скорость звена III будет равна wHIII = wIII - wV.

Угловая скорость звена 8 будет равна wH8 = w8 - wV.

Индекс Н у угловых скоростей wHIII и wH8 показывает, что рассматриваются угловые скорости колес 5 и 8 относительно звена V. Передаточное отношение между звеньями 5 и 8 в преобразованном /обращённом/ механизме UH III-V равно

wHIII wIII - wV

UHIII-V = ¾¾ = ¾¾¾ ( 3 )

wH8 w8 - wV

В левой части выражения (3) стоит передаточное отношение обыкновенного зубчатого механизма с неподвижным звеном V, оно определяется по формуле

z6 • z8 26 • 61

UHIII-V = ( -1 )1 ¾¾¾ = - ¾¾¾ = - 5.287 ( 4 )

z5 • z7 15 • 20

Формула (3) связывает между собой угловые скорости колес 5, 8 и звена V. Задаваясь двумя какими-либо из них, можно всегда определить третью, если известны геометрические размеры зубчатых колес или число их звеньев.

Так в нашем механизме изображенном на рис. 1 угловая скорость звена V равна нулю, ведущим звеном является звено III с угловой скоростью wIII, число зубьев z5 и z8 (число зубьев z6 и z7 однозначно зависит от числа зубьев z5 и z8), то передаточное отношение UIIIН можно найти из уравнения (3)

wIII - wV

UHIII-V = ¾¾¾

w8 - wV

Разделим числитель и знаменатель правой части на wV

wIII _ wV

wV wV

UHIII-V = ¾¾¾¾ ( 5 )

w8 _ wV

wV wV

wIII w8

¾¾ = UIIIH; ¾¾ = 0 т. к. w8 = 0 по условию. ( 6 )

wV wV

Тогда выражение (5) можно преобразовать к виду

UIIIН - 1

UHIII-V = ¾¾¾ = - UIIIН + 1 Þ UIIIН = 1 - UHIII-V = 1 – (- 5.287) = 6.287 ( 7 )

0 – 1

Из формулы (6)

wIII - 32,812

wV = ¾¾ = ¾¾¾¾ = - 5.219 рад/с

UIIIH 6.287

Для определения wIV запишем следующее выражение

wIII - wV

UHIII-IV = ¾¾¾ ( 8 )

wIV - wV

Так как

z6

UH III-IV = - ¾ , wIV - можно выразить из формулы (8) в следующем виде:

z5

wIII - wV wIII - wV wIII - wV + wV • UH III-IV wIII - wV - wV z6/ z5

wIV - wV = ¾¾¾¾ Þ wIV = ¾¾¾¾ + wV = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ =

UH III-IV UH III-IV UH III-IV -z6/ z5

-32,812 + 5,219 + 5,219 • 26/15

= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 10,7 рад/с

26/15

2. Определяем угловые ускорения звеньев механизма.

Угловое ускорение определяется по формуле

eI eI 25

U I-II = ¾ Þ ускорение II звена eII = ¾¾ = ¾¾¾ = 8,75 рад/с2

eII U I-II 2,857

eII 8,75

Ускорение III звена eIII = ¾¾ = ¾¾¾ = - 5,469 рад/с2

U II-III - 1,6

eIII - 5,469

Ускорение IV звена eIV = ¾¾ = ¾¾¾ = 3,161 рад/с2

U III-IV - 1,73

eIV 3,161

Ускорение V звена eV = ¾¾ = ¾¾¾ = 1,036 рад/с2.

U IV-V 3,05

3. Определяем время в течении которого угловая скорость увеличится в двое по формуле w = w0 + et, для нашего случая

2wI = wI + eIt Þ t = (2wI - wI)/eI = wI/eI = 150/25 = 6 c

4. Определим силу инерции ведущего звена по формуле P = -G • aO1, где G =10•S•r. Площадь найдем по формуле S = p • R12, где R1 = m1 • z1/2 = 1 • 21/2 = 10,5 мм.

Площадь S = p • R12 = 3,14 • 10,52 = 346,4 мм2.

Определим aO1 для начального момента времени по формуле

где ar = eI • ОО1 = 25 • 1 = 25 рад • г/с2