Из формул (1)-(3) следует закон сохранения вероятности

(4) P++P-= 1

P= P+-P- Откуда:

P+=(P+1)/ 2 и P-=(1-P)/ 2

Запишем уравнения для изменения средней населенности верхнего и нижнего уровня.

(5) d/dt P+=-ГспонтP+ -ГизлP+ +ГпоглP-

(6) d/dt P-= ГспонтP- +ГизлP- -ГпоглP+

Где Гспонт – вероятность для атома за 1 с. спонтанно перейти из возбужденного в невозбужденное состояние с испусканием фотона частоты w0, Гспонт= 1/t0, где t0- время прямого спонтанного излучения.

Гизл- вероятность для атома за 1 с. перейти из возбужденного в невозбужденное состояние непрямым образом, то есть путем одновременного испускания фотона частоты wk=w0 - W и фонона частоты W. По аналогии с теорией Эйнштейна взаимодействия излучения с веществом мы можем назвать эти константы вероятностями вынужденного стоксовского излучения и поглощения. Причем в константу Гизл входит, как и вероятность спонтанного стоксовского излучения, так и вынужденного, то есть

Гизл= Г стоксспонт. изл.+Г стоксвын. изл., а

Гпогл= Г стоксвын. погл.

Очевидно, что Г стоксспонт. изл. пропорционально М – числу рабочих фононных мод, а Г стоксвын. погл и Г стоксвын. изл. пропорциональны М, а также n, равное среднему числу фононов в одной моде.

Г стоксспонт. изл.= M/ts

Г стоксвын. изл.= (M/ts)n

Г стоксвын. погл= (M/ts)n

Где ts – константа, которую можно назвать временем стоксовского спонтанного излучения.

Тогда из уравнения (4) с помощью подстановки выражений вида (5), (6) получается:

½ dP/dt= -½ 1/t0(P+1) -M/ts (n+1)(P+1)/2 +M/ts n(1-P)/2 или

(7) dP/dt= -1/t0(P+1) -2M/ts (nP+(P+1)/2)

Запишем также балансные уравнения для среднего числа фононов в моде

(8) dn/dt= Г~изл(n+1) - Г~поглn –1/tv(n-ns)

В уравнении (8) добавлено слагаемое - 1/tv(n-ns), где ns – равновесное число фононов в моде, а tv – время фононной релаксации. Это слагаемое описывает релаксацию числа фононов за счет взаимодействия с другими фононными модами кристалла.

Г~изл= NP+/ts, Г~погл= NP-/ts, где N – число примесных атомов. Тогда

dn/dt= N/ts[n(P+-P-)+P+] –1/tv(n-ns)

Применим в правой части формулу для средней разности населенностей

(9) dn/dt= N/ts[nP+(P+1)/2] –1/tv(n-ns)

Найдем стационарные решения уравнений (7) и (8). Для этого приравняем их правые части к нулю.

-1/t0(P+1) –2M/ts(nP+(p+1)/2)= 0

N/ts(nP+(P+1)/2) –1/tv(n-ns)= 0

Для качественного анализа решения уравнения (9) рассмотрим физический случай, когда поле источника не слишком мало nk>>1 и при достаточно длительных временах нагрева ts<< Mt1 получим:

nst= ns/æ, где æ= (tv/ t1) (N/ M)

При определенном соотношении между параметрами tv, t1, N и M æ может быть >>1. Тогда стационарное число фононов nst может быть гораздо меньше равновесного ns. Если для стационарного и равновесного числа фононов использовать распределение Бозе-Эйнштейна, то

nst= 1/ (ehΩ/kБT-1)

ns= 1/ (ehΩ/kБTs-1), (Ts – равновесная температура фононной моды)

Мы можем найти связь между Т и Ts

Т= Ts[1+ (hΩ/kБT)ln(æ)]-1

Если æ>> 1, то T< Ts.

Таким образом, эффективная температура фононной моды понижается, а это приводит к релаксации энергии от образца в выделенную фононную моду, следовательно, понижается температура всего образца. Количественные оценки для эффективного понижения температуры образца в настоящей работе не проводились.

Заключение

Таким образом, в настоящей работе предложена полуколичественная квантовая теория для описания эффектов лазерного охлаждения в твердых телах. Показано, что охлаждение твердых тел может быть обусловлено взаимодействием примеси с локальными фононами.

Литература

1. С.Чу. Управление нейтральными частицами, УФН , 1999 г., т. 169, N 3, C. 274-292.

2. К.Н.Коэн-Тануджи. Управление атомами с помощью фотонов, УФН , 1999 г., т. 169,N 3, C. 292-305.

3. У.Д.Филипс. Лазерное охлаждение и пленение нейтральных атомов, УФН , 1999 г., т. 169,N 3, C. 305-323.

4. Андриянов С.Н., Самарцев В.В. Оптическое сверхизлучение и лазерное охлажление в твердых телах, Казань 1998,c.76-92.

5. Epstein R.I., Buchvald M.N., Edwards B.C., Gosnell T.R., Mungan C.E. Observation of laser induced fluorescent cooling of a solid Nature, 1995,Vol.377, p.500-502.