Общие закономерности нецентрального удара шаров в этом случае можно найти следующим путем. Предположим, что до удара шар 2 покоится, а шар 1 движется. Сила взаимодействия в момент удара проходит через центры шаров (нет трения), и ее направление зависит от "прицельного" расстояния δ, равного расстоянию центра покоящегося шара от линии полета центра другого шара (до удара). Плоскость чертежа совпадает с плоскостью, проходящей через центры шаров и вектор скорости шара 1.

F

2

r2

δ

r1

Р

1

F'

Удар произойдет при условии δ < r1 + r2, где r1 и r2 – радиусы шаров. Угол θ зависит от δ и r1 + r2. Составляющая количества движения шара 1 (ударяющего), нормальная к F (сила взаимодействия), остается неизменной. Составляющие количеств движения шаров по направлению силы F изменяются в соответствии с законами центрального удара.

По закону постоянства количества движения:

P = P1 + P2

где P – количество движения шара 1 до удара, P1 и P2 – количества движения шаров 1 и 2 после удара соответственно.

P2

P1

θ

P

Закон сохранения энергии можно записать так:

P2/m1 = P21/m1 + P22/m2

Так как P = m v и mv2 = P2 / m для любого тела.

Вектор P2 составляет угол θ с вектором P , покоившийся шар отскочит под углом θ к начальной скорости первого шара, тогда из треугольника векторов следует:

P21 = P22 + P2 - 2 P P2 cos θ

Учитывая постоянство энергии, исключаем P1 и получаем

P2 = 2 m2 P cos θ / (m1 + m2) = β P cos θ

β = 2 m2 / (m1 + m2)

Отсюда видно, что общее соотношение между Р2 и Р зависит от угла θ и соотношения масс m1/m2.

Следует различать два случая: m1 > m2 и m1 < m2. В первом случае β < 1, тяжелый шар ударяет легкий. Конец вектора Р2 описывает окружность диаметром βР. Оба шара после удара летят в сторону начального движения первого шара. Величина угла θ изменяется от 0 до π/2. Угол отклонения первого шара может изменяться от 0 до некоторого φмакс Одному значению φ соответствуют два значения θ.

β < 1

Р2

Р1

А

В Р

φ

βР

Точка В представляет центральный удар, оба шара летят после удара по одному направлению. Точка А представляет промах (шары не задели друг друга).

Во втором случае, при m1 < m2, легкий шар ударяет тяжелый. Здесь β > 1 и шар 1 после удара может лететь назад. Угол отклонения налетающего шара φ изменяется от 0 до π.

А В

βР

Точка В представляет центральный удар. Каждому значению φ соответствует только одно значение θ.

При одинаковых массах шаров m1 = m2 картина возможных количеств движения показана на рисунке.

Р2

А В

φ

Угол φ изменяется от 0 до π/2. При центральном ударе шар 1 останавливается, а шар 2 с той же скоростью движется далее (точка В). Угол разлета шаров θ + φ всегда равен π/2.

Угол θ нетрудно связать с прицельным расстоянием δ и показать, что