3.1. Центральное упругое столкновение тел

Имеются два сферических объекта (шарика) с массами m1 и m2. Предположим, что эти шарики движутся без вращения по одной оси и испытывают центральное упругое соударение. В этом случае закон сохранения импульса запишется в виде:

m1v1i + m2v2i = m1v1 + m2v2

где v1i и v2i - начальные скорости каждого объекта, а v1 и v2 - их конечные скорости. Закон сохранения энергии записывается в виде:

m1v1i2 / 2 + m2v2i2 / 2 = m1v12 / 2 + m2v22 / 2

Векторы скоростей шаров после упругого удара будут лежать на линии центров шаров, потому что силы взаимодействия во время удара вследствие симметрии будут направлены по этой же прямой.

Закон сохранения импульса может быть преобразован следующим образом:

m1 (v1i - v1) = m2 (v2 - v2i)

Также преобразуем выражение для закона сохранения энергии

m1 (v1i2 - v12) = m2 (v22 - v2i2)

Если разница между начальной и конечной скоростями не равна нулю (то есть столкновение действительно произошло), мы можем разделить второе из двух последних уравнений на первое, что дает:

v1i + v1 = v2 + v2i

или

v1i - v2i = v2 - v1

Другими словами, в одномерном случае упругих столкновений относительная скорость движения объектов после столкновения равняется относительной скорости движения до столкновения.

Чтобы получить конечные скорости движения объектов через их начальные скорости и массы, нужно выразить v2 из последнего уравнения и подставить его в уравнение для закона сохранения импульса. Окончательно получаем:

v1 = v1i (m1 - m2) / (m1 + m2) + v2i (2 m2) / (m1 + m2)

Таким же способом находим выражение для v2

v2 = v1i (2 m1) / (m1 + m2) + v2i (m2 - m1) / (m2 + m1)

Далее предположим, что сталкиваются объекты с одинаковой массой, т.е. m1= m2 = m. В этом случае:

v1 = v1i (m - m) / (m + m) + v2i (2 m) / (m + m)

v2 = v1i (2 m) / (m + m) + v2i (m - m) / (m + m)

Окончательно получаем, что

v1 = v2i и v2 = v1i

Это означает, что в случае центрального упругого соударения объектов с равными массами, они будут просто обмениваться скоростями. Если один из объектов до столкновения покоился, то после столкновения он остановится, а второй объект начнёт движение. При этом скорость движения второго объекта будет равна скорости первого объекта до столкновения.

В общем случае центрального и абсолютно упругого столкновения объектов с разными массами, один из которых до столкновения покоился (v2i =0), можно записать следующие выражения для скоростей после удара:

v1 = v1i (m1 - m2) / (m1 + m2)

v2 = v1i (2 m1) / (m1 + m2)

Если масса налетающего шара m1 больше массы покоящегося шара m2 , то v1 и v2 будут положительными и оба шара после столкновения будут двигаться в одном направлении, совпадающем с направлением начального движения налетающего шара.

Если же масса налетающего шара m1 меньше массы покоящегося шара m2 , то v1 будет отрицательной, а v2 - положительной, и шары после столкновения будут разлетаться в противоположных направлениях. При этом, т.к. 2 m1 > m1 - m2 , то маленький шарик отразиться с большей скоростью.

Такова картина удара двух любых тел, если начальная скорость направлена вдоль линии, соединяющей центры масс этих тел, и если силы взаимодействия направлены вдоль этой же линии центров. В противном случае удар будет представлять сложное явление.

При нецентральном ударе шаров картина соударения будет иная.

3.2. Нецентральное упругое столкновение тел

Здесь во время удара имеет место как приближение центров шаров друг к другу вследствие их деформации, так и скольжение поверхности одного шара по поверхности другого. Очевидно, что вследствие скольжения поверхностей возникнут силы трения, которые вместе с упругими силами взаимодействия определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров относительно их центров масс.

Для того чтобы представить механизм удара, разложим векторы скоростей обоих шаров до удара на направление линии центров шаров и на направление перпендикулярное к этой линии.

V1ц

V1i F'Т

V1п

F'y Fy

V2i v2п

FT

V2ц

В следствии "скольжения" поверхности шаров возникнут силы трения F'T и FT , которые вместе с упругими силами взаимодействия F'y и Fy определят изменение скорости шаров после удара. Кроме того, силы трения вызовут вращение шаров вокруг центра. Только в том случае, когда силы трения FT очень малы по сравнению с упругими силами Fy, т.е. FT << Fy, можно пренебречь действием сил трения.

В этом случае задача о нецентральном столкновении шаров решается достаточно просто. Действительно, соединяя центры масс сталкивающихся шаров прямой и разложив скорость каждого шара на нормальную составляющую, направленную вдоль линии центров, и тангенциальную составляющую, перпендикулярную к ней. Так как согласно нашему предположению силы трения отсутствуют, то тангенциальные силы во время столкновения не возникают и, следовательно, тангенциальные скорости шаров изменяться не будут. Нормальные же составляющие скорости после удара можно определить на основании закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии таким же путем, как и при центральном ударе.

Запишем уравнения:

m1 v1ц + m2 v2ц = m1ц v' 1ц + m2 v'2ц

m1 ( v21п + v21ц ) + m2 (v22п + v22ц) = m1 ( v'21п + v21ц ) + m2 (v'22п + v22ц

здесь неизвестны только две величины: v'1ц и v'2ц.