а также известные уже равенства

; .

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИИ

При последовательном соединении элементов в R, L и С (см. рис. 2.20, а) ток в цепи

.

Из всех возможных соотношений между индуктивным ХL и ем­костным ХC сопротивлениями особый интерес представляет случай, когда эти сопротивления равны, т. е. ХL = ХС. В этом случае ре­активное сопротивление цепи X = ХL - ХС = 0 и полное сопротив­ление Z = R минимально. Тогда ток в цепи I = U/R и при U = const, R = const значение его максимально.

Напряжения на индуктивном и емкостном элементах в комплекс­ной форме , а по значению UL = XLI = ХСI = UC. Следовательно,

UL=XLI = XLU/R; UC = XCI = XCU/R.

Таким образом, напряжения на индуктивном и емкостном элемен­тах могут превышать напряжение сети в XL/R раз, если XL > R. Сдвиг по фазе между напряжениями и равен , т.е. эти напря­жения находятся в противофазе.

Такой режим цепи при последовательном соединении элементов с R, L и С, когда XL = ХС, а напряжения на индуктивном () и ем­костном () элементах, находящиеся в противофазе, равны по значе­нию и могут превышать напряжение всей цепи, носит название режи­ма резонанса напряжений.

Векторная диаграмма напряжений для режима резонанса пред­ставлена на рис. 2.29. Реактивная составляющая напряжения (2.41) равна пулю; следовательно, полное напряжение , а угол сдвига = 0; cos = 1.

Активная мощность такой цепи Р = UIcos = UI = S, а реак­тивная Q = UIsin = 0. Реактивные же мощности индуктивной ка­тушки (QL = XL) и конденсатора () не равны нулю: их мгновенные значения в любой момент времени равны между собой, но обратим по знаку. Происходит непрерывный обмен энергией меж­ду магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора.

Равенства индуктивного и емкостного сопротивлений

можно добиться, изменяя угловую частоту , индуктивность L или емкость С. Угловая частота, при которой наступает резонанс напря­жений,

.

При этой, резонансной, частоте ток в цепи достигает максималь­ного значения. При уменьшении частоты увеличивается сопротивле­ние , а следовательно, и реактивное сопротивление цепи X = XL – ХC становится не равным нулю. Ток уменьшается. При частоте , что формально соответствует напряжению постоянного тока, ток в цепи равен нулю (). При увеличении угловой частоты () реактивное сопротивление цепи также становится больше нуля и ток начинает уменьшаться (рис. 2.30) Падение напряжения на элементе с активным сопротивлением UR = RI изменяется так же, как ток в цепи, так как R = const. При этом UR = U при .

Напряжения UL и UC при равны между собой по значе­нию. Но своих максимальных значений они достигают при частоте, от­личной от резонансной. Напряжение на конденсаторе

.

Напряжение UC максимально тогда, когда функция под квадрат­ным корнем имеет минимум. Взяв первую производную от этой функ­ции по и приравняв ее нулю, найдем ее минимум (так как максимум имеет место при ). Частота, при которой напряжение макси­мально,

,

т.е. .

Поступая аналогичным образом, найдем, что частота, при которой напряжение UL достигает максимума,

,

т. e. .

Явление резонанса широко используют в устройствах радиотех­ники, телевидения, автоматики и других электроустройствах. Если электрическая цепь (см. рис. 2.20, а) имеет параметры L и С такие, что резонансной для этой цепи является частота , то ток этой частоты будет иметь максимальное значение. Токи других частот (если к цепи приложено несколько напряжений разной частоты) будут меньше. Изменяя индуктивность L или емкость С, можно на­страивать контур на ту или иную резонансную частоту и усиливать в цепи ток той или иной частоты.

Поскольку резонансные явления связаны со значительным уве­личением напряжения на элементах с индуктивностью и емкостью, это может привести к пробою их изоляции.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ С R, L И С

К цепи с параллельным соединением элементов с R, L и С (рис. 2.31) подводят напряжение , под действием кото­рого в ветвях создаются токи (в ветви с R), (в ветви с L), (в ветви с С).

Соответственно действующие значения токов в ветвях

IR = U/R = GU; IL = U/XL = BLU; IC = U/XC = BCU, (2.53)

а действующее значение полного тока

, (2.54)

где G = 1/R; BL = 1/XL; BC = 1/XC; Y=1/Z— активная, индук­тивная, емкостная и полная проводимости цепи. По первому закону Кирхгофа для данной цепи,