На рис. 2.17, а показаны условные положительные направления тока i в цепи и падения напряжения uL на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление э.д.с. eL выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно направлению uL (uL = - еL).

По второму закону Кирхгофа (2.18) имеем u – uL = 0, а с учетом того, что uL = - eL, получаем

u + eL = 0. (2.22)

Чтобы получить это уравнение на основании (2.17), условное по­ложительное направление eL следует всегда принимать совпадающим с положительным направлением тока.

Так как , а eL определяется из (2.21), уравнение (2.22) принимает вид

или

Решая это уравнение, получим выражение для тока в цепи[1]:

.

Так как амплитуда тока

, (2.23)

то окончательное выражение для тока имеет вид

. (2.24)

Видно, что в цепи с индуктивностью ток также изменяется по синусоидальному закону и отстает по фазе от напряжения на угол (рис. 2.17, б).

В формуле (2.23) знаменатель в правой части имеет размерность сопротивления. Это индуктивное сопротивление

. (2.25)

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности.

С учетом формулы (2.25) получаем

.

Для действующих значений напряжения и тока

. (2.26)

Так как согласно (2.22) э. д. с. самоиндукции численно равна напряженю на элементе с индуктивностью, то, используя формулу (2.26), имеем

. (2.27)

Видно, что индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током и э. д. с. самоиндукции.

В соответствии с (2.15) принимая во внимание, что , комплексное напряжение = U, а в соответствии с (2.16) и (2.24) комплексный ток

.

На векторной диаграмме (рис. 2.17, в) вектор напряжения, имею­щий начальную фазу, равную нулю, отложен по вещественной оси, а вектор тока, имеющий начальную фазу , — в отрица­тельном направлении мнимой оси. Угол сдвига фаз между напряже­нием и током в цепи с индуктивностью .

Если модули напряжения и тока связаны соотношением (2.27), то их комплексные значения связаны соотношением

.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ЕМКОСТЬЮ

Элементом электрической цепи, обладающим значительной ем­костью, является конденсатор. Конструктивно конденсатор представ­ляет собой две пластины g большой поверхностью, выполненные из проводящего материала и разделенные диэлектриком. Емкость С кон­денсатора определяет тот электрический заряд, который накапли­вается на пластинах при разности потенциалов между ними в 1 В.

Хотя пластины конденсатора и разделены диэлектриком, при пе­ременном напряжении ток в цепи с конденсатором существует. Это связано с тем, что синусоидальное напряжение непрерывно меняется по значению и направлению, а следовательно, и заряд на пластинах конденсатора непрерывно меняется. Это изменение заряда и связанное с ним движение электронов и есть электрический ток в цепи.

Емкостью обладают любые два проводника, расположенные не­далеко друг от друга. Но при малой поверхности их емкость невелика и ею обычно пренебрегают.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника пита­ния и конденсатора емкостью С (рис. 2.18, а). Будем считать, что конденсатор имеет идеальный диэлектрик, т. е. его активное сопротив­ление равно нулю. К цепи с конденсатором подведено синусоидальное напряжение , под действием которого в цепи возникает ток i и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд Q = Сuс, где uс — падение напряжения на конденсаторе.

По второму закону Кирхгофа для данной цепи имеем u = uс. Тогда заряд на конденсаторе

Ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени,

,

или

(2.28)

где амплитуда тока

. (2-29)

Из формулы (2.28) видно, что ток в цепи с емкостью является синусо­идальным и опережает напряжение по фазе на угол (рис. 2.18, б).

Рассмотрим процесс протекания тока в цепи с емкостью подробнее. Под действием приложенного к конденсатору напряжения происходит поляризация диэлектрика, т. е. смещение заряженных частиц, входя­щих в состав молекул его вещества, в противоположных направле­ниях. Электрически нейтральные при отсутствии внешнего электри­ческого поля молекулы диэлектрика превращаются в электрические диполи, т. е. системы двух противоположных по знаку точечных зарядов. В процессе поляризации в диэлектрике происходит движение элементарных частиц в пределах молекулы, образующее ток поляри­зации или ток смещения.

На рис. 2.19, б, в показаны действительные мгновенные значения потенциалов точек а и d. В первую четверть периода (0 < t < /Т/4) потенциал точки а (рис. 2.19, б) положительный и увеличивается от 0 до +Um. Поляризация диэлектрика и ток в цепи пропорциональны скорости изменения потенциала точки а. Ток в цепи направлен от точ­ки а, имеющей в данный промежуток времени больший потенциал, и совпадает по направлению с напряжением. В момент времени t = Т/4 потенциал точки а достигает значения +Um и в течение не изменяется, вследствие чего ток i = 0 (рис. 2.19, а).

Во вторую четверть периода (Т/4 < t < T/2) потенциал точки а остается положительным, но уменьшается от +Um до нуля. Пластина b конденсатора, заряженная до потенциала +Um, оказывается в таких условиях, когда ее потенциал больше потенциала точки а. Направ­ление тока изменяется на противоположное (рис. 2.19, е), т.е. ток становится отрицательным. Наибольшая разность потенциалов имеет место при t = T/2. В этот момент времени ток достигает отрицатель­ного максимума. Дальше процесс повторяется.