Следует, однако, подчеркнуть, что соотношения неопределенностей отнюдь не сводятся к указанному ограничению применимости классических понятий координаты, импульса, энергии и т.д. было бы неправильно не замечать за “негативным” содержанием соотношений неопределенностей значительного “позитивного” содержания этих соотношений. Они являются рабочим инструментом квантовой теории. Отражая специфику физики микрообъектов, соотношения неопределенностей позволяют весьма простым путем получать важные оценки.

От явления дифракции микрообъектов к соотношениям неопределенностей. Рассмотренный путь получения соотношений неопределенностей может показаться слишком формальным и малоубедительным. Существует разные способы вывода соотношений неопределенностей. Один из таких способов основан на рассмотрении явления дифракции микрообъектов.

Предположим (рис. 3) , что на пути строго параллельного пучка микрообъектов с импульсом р поставлен экран с узкой щелью, ширина которой в направлении оси х равна d (ось х перпендикулярна исходному направлению пучка) . При прохождении микрообъектов через щель

Х происходит дифракция. Пусть θ – угол между исходным направлением на первый θ (основной) дифракционный максимум.

d Классическая волновая теория дает, как известно, следующее соотношение для этого угла: sin θ = λ / d. Οξлагая угол θ достаточно малым, перепишем указанное соотношение в виде θ λ / d.

Если под величиной λ понимать теперь не ΔΠx длину классической волны, а волны де Бройля (т.е. волновую характеристику микрообъекта) Р то можно переписать это соотношение на “корпускулярном” языке: рис. 3 θ h / pd.

Однако как понимать на “корпускулярном” языке сам факт существования угла θ? Очевидно, этот факт означает, что при прохождении через щель микрообъект приобретает некий импульс Δpx в направлении оси х. Легко сообразить, что Δpx pθ. Οξдставляя сюда последнее соотношение, получаем Δpx h / d. Рассматривая затем величину d как неопределенность Δх х-координаты микрообъекта, проходящего через щель, находим отсюда ΔpxΔυ h, ς.е. фактически приходим к соотношению неопределенностей ΔpxΔx > h. Таким образом, попытка в какой-то мере фиксировать координату микрообъекта в направлении, перпендикулярном направлении его движения, приводит к возникновению неопределенности импульса микрообъекта в указанном направлении, чем и объясняется наблюдаемое на опыте явления дифракции.

Соотношения неопределенностей и состояния микрообъектов; понятие о полном наборе физических величин. Для задания состояния классического объекта надо, как известно, задать определенную совокупность чисел – координаты и составляющие скорости. При этом, в частности, будут определены и другие величины: энергия, импульс, момент импульса объекта. соотношения неопределенностей показывают, что для микрообъектов такой способ задания состояния неприемлем. Так, например, наличие у микрообъекта определенной проекции импульса на данное направление означает, что положение микрообъекта на указанном направлении не может быть предсказано однозначно: согласно формуле ΔpxΔx > h, соответствующая пространственная координата характеризуется бесконечно большой неопределенностью. Электрон в атоме имеет определенную энергию; при этом его координаты характеризуются неопределенностью порядка линейных размеров атома, что, согласно той же формуле, приводит к неопределенности проекций импульса электрона, равной отношению постоянной Планка к линейному размеру атома.

Можно указать следующие принципиальные для квантовой механики положения, вытекающие из соотношений неопределенностей: а) различные динамические переменные микрообъекта объединяются в наборы одновременно определенных (одновременно измеримых) величин, так называемые полные наборы величин; б) различные состояния микрообъекта объединяются в группы состояний, отвечающим разным полным наборам величин; каждая такая группа определяет состояния микрообъекта, в которых объединены величины соответствующего полного набора (принято говорить, что каждому полному набору соответствует свой способ задания состояний) .

Укажем примеры полных наборов, используемых для задания состояний, например, электрона и фотона. Каждый из наборов включает четыре величины (в связи с этим говорят, что микрообъект имеет четыре степени свободы) . Для описания состояний электрона используют следующие наборы: x, y, z, σ, Δpx, Δpy, Δpz, σ, E, l, m, σ (νΰпомним, что l, m, σ – ρоответственно орбитальное, магнитное и спиновое квантовые числа) . Подчеркнем, что координаты и составляющие импульса микрообъекта (в данном случае электрона) попадают в разные полные наборы величин; указанные физические величины одновременно неизмеримы. Именно поэтому классические соотношения E = p2/2m + U(r) , M = (r . p) не работают при переходе к микрообъектам; ведь в каждое из этих соотношений входит и координата, и импульс.

Второй из перечисленных наборов используют, в частности, для описания состояний, свободно движущегося электрона; при этом оказывается определенной также и энергия электрона: E = (px2 + py2 + pz2) / 2m. Третий набор используют обычно для описания состояний электрона в атоме.

Для описания состояний фотона используют чаще всего следующие наборы: kx, ky, kz, α, E, M2, Mz, P.

Здесь kx, ky, kz – проекции волнового вектора излучения; α – поляризация фотона; M2 и Mz – соотвественно квадрат момента и проекция момента фотона; P – квантовое число, называемое пространственной четностью. Заметим, что коль скоро определены проекции волнового вектора излучения, то определены и проекции импульса фотона. Поляризация фотона принимает два значения – в полном значении с двумя независимыми поляризациями классической волны (так, например, можно говорить о фотонах, имеющих правую эллиптическую поляризацию) . Пространственная четность – специфическая характеристика микрообъекта; она может рассматриваться как интеграл движения, сохранение которого есть следствие симметрии по отношению к операции отражения в зеркале. Четность может принимать два значения: Р = 1, -1.

Набор kx, ky, kz, α θρпользуют для описания состояний фотонов, отвечающим плоским классическим волнам; при этом оказывается определенной также энергия фотона (Е = hω) . О состояниях, описываемых этим набором, говорят, как о kα-состояниях. Набор E, M2, Mz, P α θρпользуют для описания состояний фотонов, отвечающим сферическим классическим волнам. Заметим, что подобно тому, как сферическая волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн, состояние фотона, определяемое этим набором, может быть представлено в виде “суперпозиции” состояний, определяемых набором kx, ky, kz, α. Βεрно также и противоположное заключение – о представлении плоской волны в виде суперпозиции сферических волн. Здесь мы коснулись одного из наиболее важных и тонких аспектов квантомеханического описания материи – специфики “взаимоотношений” состояний микрообъекта, описываемых разными полными наборами. Эта специфика отражается в наиболее конструктивном принципе квантовой механики – принципе суперпозиции состояний.