Переходя в лабораторную систему отсчета и подставляя в (17) значения и, получаем уравнение

Таким образом, уравнение движения электрона в ондуляторе сводится к уравнению классического математического маятника для фазы этого движения. Это свидетельствует о наличии глубокой аналогии между лазером на свободных электронах и электронными приборами СВЧ, которые в приближении заданного поля также описываются подобными уравнениями.

Дальнейший анализ требует задания начальных условий. В момент входа электрона в ондулятор фаза имеет некоторое, вообще говоря, произвольное значение j0. Второе начальное условие легко получить дифференцированием выражения (16), служащего определением фазы. В результате при t= 0 имеем

Заметим, что начальная скорость изменения фазы пропорциональна отстройке частоты излучения от резoнансного значения.

Уравнение (18) с начальными условиями (19) полностью определяет движение электрона 0в полях волны и ондулятора и позволяет определить основные характеристики лазера.

Найдем энергию, излучаемую электроном в ондуляторе за один проход. Энергия, излучаемая в единицу времени, определяется как взятая с обратным знаком работа, совершаемая полем волны над электроном:

где по определению . Это уравнение позволяет установить простую связь между излучаемой энергией F и фазой j .

Действительно, с учетом (9) поперечная скорость электрона в лабораторной системе координат равна

Подставляя (6) в (21), а (21) в (20), после простых преобразований получаем

Но sinj связан с d2j/dt2 уравнением маятника (18), что и дает искомую связь в достаточно простой форме:

Здесь W =gm0c2 – полная энергия релятивистского электрона.

Интегрирование этого уравнения с учетом начальных условий (19) для dj/dt и при естественном предположении, что F(0)=0, дает

Воспользуемся далее хорошо известным первым интегралом уравнения движения маятника, который выражает закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий маятника в произвольный момент времени равна их cумме в начальный момент времени t=0. В наших обозначениях с учетом начальных условий (19) это означает, что

Отметим, что уровень полной энергии маятника определяется как начальной фазой j0, так и расстройкой w-w0. В приближении слабого сигнала

где учтено, что время прохождения электроном ондулятора длины L равно L/c, т. е. при E®0 наш аналог маятника совершает не колебательное, а вращательное движение относительно некоторого положения равновесия, совершая полные обороты с круговой частотой (w-w0)/2g2. Это означает, что в приближении слабого сигнала уравнение (25) может решаться методом итераций по отношению к слагаемому .

Не загромождая изложение протяженными выкладками, отметим, что в нулевом порядке излучаемая энергия (24) равна нулю. В отсутствие поля электромагнитной волны нет ни излучения, ни поглощения. В следующем, первом, приближении излучаемая энергия оказывается пропорциональной cosj0, или sinj0. Но в электронных ускорителях высокой энергии электронный пучок состоит, как уже отмечалось, из электронных сгустков (электронных пакетов) конечной длительности с продольным размером, обычно не меньшим 1 мм, что существенно превышает длину волны света. Следовательно, излучаемая энергия должна быть усреднена по начальной фазе j0.

В результате такого усреднения в первом порядке по Е излучаемая энергия обращается в нуль. Только во втором порядке итераций уравнение (25) дает отличную от нуля среднюю скорость изменения фазы, что с помощью (24) позволяет определить среднюю энергию, излучаемую электроном за один проход . Эта величина естественным образом связана со значением коэффициента усиления излучения за один проход по мощности 1 + G, а именно:

где Ne– электронная плотность. В результате довольно громоздких выкладок получается выражение

где введены обозначения , – чиело периодов ондулятора, L – его длина.

Коэффициент усиления G пропорционален производной от спектральной интенсивности спонтанного излучения , что прекрасно иллюстрируется представленным на рис. 3 результатами измерения этих величин.

Рис. 3. Спектр спонтанного ондуляторного излучения (a) и спектральная зависимость коэффициента усиления в Лсэ (б)