Эту функцию назовем N-частичной функцией распределения. Здесь следует, может быть, подчеркнуть, что это описание движе­ния отличается от описания, основанного на гамильтониане (5). Координаты хi и импульсы рi теперь являются независимыми пере­менными и уже не считаются функциями времени; поведение системы характеризуется изменением во времени плотности в данной точке фазового пространства .

В дальнейшем нам часто будет необходима более простая запись этой функции, или вообще любой функции F,зависящей от N импульсов и N координат. Мы будем постоянно пользоваться следующей записью:

В тех случаях, когда не могут возникнуть недоразумения, для обозначения совокупности всех импульсов от pi доpN мы будем использовать букву р.

Согласно хорошо известной в классической механике [1] теоремы Лиувилля, «облако», соответствующее ансамблю, дви­жется как несжимаемая жидкость и, следовательно, удовлетворяет уравнению непрерывности в фазовом пространстве:

или, используя уравнения Гамильтона (5),

(6)

Второй член в этом уравнении представляет собой скобки Пуассона и определяется соотношением:

(7)

Подставляя гамильтониан для однокомпонентного газа (3) в уравнение (6), получаем следующее уравнение Лиувилля:

(8)

где vj = pj/m. Заметим, что в то время как в гамильтоновом фор­мализме естественными переменными являются импульсы рj, в формулах, связывающих микроскопические величины с макроскопическими,более удобными оказываются скорости vj. Поэтому в дальнейшем всюду мы будем пользоваться переменными vjвместо рj. Если отсут­ствует магнитное поле и релятивистскими эффектами можно пре­небречь, эта замена является тривиальной. N-частичная функция распределения считается функцией координат, скоростей и вре­мени:

Соответствующая замена переменных произведена непосредст­венно в уравнении (8). В дальнейшем мы всегда будем пользоваться следующими сокращенными обозначениями:

(9)

Уравнение Лиувилля в этих обозначениях записывается в виде:

(10)

Из уравнения (10) следует, что интеграл от функции fN по всем координатам и скоростям является постоянным во времени. Поэтому функцию fN можно нормировать следующим образом:

(11)

После такого формального введения уравнения Лиувилля мы должны дать физическую интерпретацию понятия ансамбля. Среди авторов, обсуждавших эту проблему в литературе, до сих пор имеются некоторые разногласия, в особенности эти разно­гласия касаются известной эргодической теоремы [2]. Мы не хотим здесь вдаваться в подробности этой весьма бесплодной дискуссии, тем более что недавно были высказаны некоторые сом­нения в применимости этой теоремы к реальным физическим системам [З]. Мы будем считать, что для макроскопического наблю­дателя невозможно по одному измерению получить сведения о системе, первоначальное состояние которой определено «макро­скопически» (мы ниже вернемся еще к понятию «макроскопическое определение»). Единственное, что можно предсказать, это средний результат на основе большого числа измерений, полученных для одной и той же макроскопической системы. Предположим, что это среднее значение имеет вес, равный функции распределения fN . Эта функция для момента времени t=0 должна быть построе­на так, чтобы она согласовывалась с имеющейся макроскопической информацией о системе. Однако вследствие большого числа частиц в системе результат любого измерения будет очень близок к сред­нему значению измеряемой величины для ансамбля (ошибка приблизительно порядка N-1). Последнее утверждение никогда не доказывается, но является вполне естественным.

Из этого обсуждения можно сделать следующий вывод: наблю­даемое значение любой макроскопической динамической вeличины есть среднее значение соответствующей микроскопической величины с весом fN:

(12)

Заметим теперь, что информация, заключенная в fN , в действительности оказы-вается излишней. Для всех величин, характери­зующих макроскопическое состояние системы, таких, как плот­ность, гидродинамическая скорость и т. д., величина А (х, v) является функцией положения и скорости очень небольшого числа частиц (скажем, одной, двух и т. д.) по сравнению с полным числом частиц системы. Поэтому весом для функции А в (12) в действи­тельности является интеграл от fN , по всем частицам, за исключе­нием тех, от которых зависит А. Такие интегралы называются приве-денными, s-частичными функциями распределения. Опреде­ляются они формулой:

(13)

Множитель N!/(N-s)! является удобным по следующим причи­нам. Если интерпретировать fN как вероятность, то функция fs определенная без такого множителя, соответствовала бы вероят­ности нахождения определенной частицы 1 в точке (x1,v1), части­цы 2 в точке (x2,v2) и т. д. Однако в больших физических систе­мах из одинаковых частиц все частицы равноправны; данные макроскопические свойства определяются набором частиц в целом независимо от их нумерации. Поэтому удобно умножать интеграл от функции fN на такой множитель, который представлял бы число способов выбора s частиц из полного числа частиц N.