При описании волн Рэлея [7], распространяющихся вдоль границы изотропного упругого полупространства (рис.3), смещение удобно выражать через скалярный j и векторный потенциалы:

(1)

причем такое представление возможно при любой пространственной структуре волновых полей и соответствует разделению волны на волну сжатия (j) и волну сдвига (). Уравнения для j и независимы и записываются в виде:

, , (2)

где D-оператор Лапласа, и -скорости продольной и поперечной акустических волн соответственно. При распространении волны вдоль оси x (рис.1) и векторе смещения, лежащем в плоскости xz, векторный потенциал имеет одну компоненту , отличную от нуля. При этом смещения и даются формулами:

, . (3)

Используя эти выражения и закон Гука для изотропного тела, можно записать отличные от нуля компоненты тензора напряжений:

,

,

, (4)

,

где и -постоянные Ламе, причем ,

( -плотность упругого тела).

Решения уравнений (2), описывающие поверхностную акустическую волну, имеют вид:

, (5)

,

где и - частота и волновое число волны, и - амплитуды двух компонент волны, и -коэффициенты, описывающие спадание волн сжатия и сдвига в глубь поверхности.

Из уравнений движения (2) следует, что

, , > ,

где , - волновые числа продольной и сдвиговой объемных волн.

На свободной границе полупространства z=0 должны выполняться условия отсутствия напряжений . Из выражений (4) при этом следует:

, (6)

.

Выражение в квадратных скобках преобразуется к виду , после чего система (6) записывается в виде:

, (7)

.

Из условия существования ненулевых решений этой линейной системы уравнений получается уравнение Рэлея

. (8)

Вводя скорость волны Рэлея , легко видеть, что не зависит от частоты, т.е. волны Рэлея в классическом упругом теле

бездисперсны и отношение определяется отношением , т.е. зависит только от коэффициента Пуассона .

Амплитуды потенциалов и линейно связаны уравнениями (7), поэтому решения (5) можно представить в виде:

, (9)

.

Значения смещений и вычисляются по формулам (3); в частности, для амплитуды смещения на поверхности имеем:

, (10)

соответственно дается формулой:

. (11)

Из этих формул видно, что смещение частиц среды в волне Рэлея происходит по эллипсам, причем на «гребнях» волны частицы движутся в направлении, противоположном направлению распространения волны.

Поток энергии в волне Рэлея в расчете на единицу ширины акустического пучка с использованием формул (9) можно представить формулой:

, (12)