Прежде чем делать какие- либо изменения в алгоритме перебора в глубину, нужно нужно решить, что понимать под глубиной вершины в графе. Согласно обычному определению, глубина вершины равна единице плюс глубина наиболее близкой родительской вершины, причем глубина начальной вершины предполагается равной нулю. Тогда поиск в глубину можно было бы получить, выбирая для раскрытия самую глубокую вершину списка ОТКРЫТ (без превышения граничной глубины). Когда порождаются вершины, уже имеющиеся в списке ОТКРЫТ, либо в списке ЗАКРЫТ, пересчет глубины такой вершины может оказаться необходимым.

Даже в том случае, когда перебор осуществляется на полном графе, множество вершин и указателей, построенное в процессе перебора , тем не менее образуют дерево. (Указатели указывают только на одну порождающую вершину.)

4.5. Обсуждение эвристической информации

Методы слепого перебора, полного перебора или поиска в глубину являются исчерпывающими процедурами поиска путей к целевой вершине. В принципе эти методы обеспечивают решение задачи поиска пути, но часто эти методы невозможно использовать, поскольку при переборе прийдется раскрыть слишком много вершин. Прежде чем нужный путь будет найден. Т.к. всегда имеются практические ограничения на время вычисления и объем памяти, то нужны другие методы, более эффективные. чем методы слепого перебора.

Для многих задач можно сформулировать правила, позволяющие уменьшить объем перебора. Все такие правила, используемые для ускорения поиска, зависят от специфической информации о задаче, представляемой в виде графа. Будем называть такую информацию эвристической информацией (помогающей найти решение) и называть использующие ее процедуры поиска эвристическими методами поиска. Один из путей уменьшить перебор состоит в выборе более “информированного” оператора Г, который не строит много не относящихся к делу вершин. Этот способ применим как в методе полного перебора, так и в методе перебора в глубину. Другой путь состоит в использовании эвристической информации для модификации шага (5) алгоритма перебора в глубину. Вместо того, чтобы размещать вновь построенные вершины в произвольном порядке в начале списка ОТКРЫТ, их можно расположить в нем некоторым определенным образом, зависящим от эвристической информации. Так, при переборе в глубину в первую очередь будет раскрываться та вершина, которая представляется наилучшей.

Более гибкий (и более дорогой) путь использования эвристической информации состоит в том, чтобы, согласно некоторому критерию, на каждом шаге переупорядочивать вершины списка ОТКРЫТ. В этом случае перебор мог бы идти дальше в тех участках границы, которые представляются наиболее перспективными. Для того, чтобы применить процедуру упорядочения, нам необходима мера, которая позволяла бы оценивать “перспективность” вершин. Такие меры называют оценочными функциями.

Иногда удается выделить эвристическую информацию (эвристику), уменьшающую усилия, затрачиваемые на перебор (до вершины, меньшей скажем, чем при поиске методом равных цен), без потери гарантированной возможности найти путь, обладающий наименьшей стоимостью. Чаще же используемые эвристики сильно уменьшают объем работы, связанной с перебором, ценой отказа от гарантии найти путь наименьшей стоимости в некоторых или во всех задачах.

4.5. Использование оценочных функций

Как мы уже отмечали, обычный способ использования эвристической информации связан с употреблением упорядочения перебора оценочных функций. Оценочная функция должна обеспечивать возможность ранжирования вершин- кандидатов на раскрытие- с тем, чтобы выделить ту вершину, которая с наибольшей вероятностью находится на лучшем пути к цели. Оценочные функции строились на основе различных соображений. Делались попытки определить вероятность того, что вершина расположена на лучшем пути. Предлагалось также использовать расстояние и другие меры различия между произвольной вершиной и множеством целевых вершин.

Предположим, что задана некоторая функция f, которая могла бы быть использована для упорядочения вершин перед их раскрытием. Через f(n) обозначим значение этой функции на вершине n. Эта функция совпадает с оценкой стоимости того из путей, идущих от начальной вершины к целевой и проходящих через вершину n, стоимость которого - наименьшая (из всех таких путей).

Условимся располагать вершины, предназначенные для раскрытия, в порядке возрастания их значений функции f. Тогда можно использовать некоторый алгоритм (подобный алгоритму равных цен), в котором для очередного раскрытия выбирается та вершина списка ОТКРЫТ, для которой значение f оказывается наименьшим. Будем называть такую процедуру алгоритм упорядоченного перебора.

Чтобы этот алгоритм упорядоченного перебора был применен для перебора на произвольных графах (а не только на деревьях), необходимо предусмотреть в нем возможность работы в случае построения вершин, которые уже имеются либо в списке ОТКРЫТ, либо в списке ЗАКРЫТ. При использовании некоторой произвольной функции f нужно учесть, что величина f для некоторой вершины из списка ЗАКРЫТ может понизится. если к ней найден новый путь (f(n) может зависеть от пути из s к n даже для вершин из списка ЗАКРЫТ). Следовательно, мы должны тогда перенести такие вершины назад в список ОТКРЫТ и позаботиться об изменении направлений соответствующих указателей.

После принятия этих необходимых мер алгоритм упорядоченного поиска может быть представлен такой последовательностью шагов:

1) Поместить начальную вершину s в список, называемый ОТКРЫТ, и вычислить f(s).

2) Если список ОТКРЫТ пуст, то на выход дается сигнал о неудаче; в противном случае переходи к следующему этапу.

3) Взять из списка ОТКРЫТ ту вершину, для которой f имеет наименьшее значение, и поместить ее в список ЗАКРЫТ. Дать этой вершине название n. (В случае совпадения значений выбирать вершину с минимальными f произвольно, но всегда отдавая предпочтение целевой вершине.)

4) Если n есть целевая вершина, то на выход выдать решающий путь, получаемый прослеживанием соответствующих указателей; в противном случае переходить к следующему шагу.

5) Раскрыть вершину n, построив все непосредственно следующие за ней вершины. (Если таковых нет переходить к шагу (2).) Для такой дочерней вершины ni вычислить значение f(ni).

6) Связать с теми из вершин ni , которых еще нет в списках ОТКРЫТ или ЗАКРЫТ, только что прочитанные значения f(ni). Поместить эти вершины в список ОТКРЫТ и провести от них к вершине n указатели.

7) Связать с теми из непосредственно следующих за n вершинами. которые уже были в списке ОТКРЫТ или ЗАКРЫТ, меньшие из прежних или только что вычисленных значений f. Поместить в список ОТКРЫТ те из непосредственно следующих за n вершин, для которых новое значение f оказалось ниже, и изменить направление указателей от всех вершин, для которых значение f уменьшилось, направив их к n

8) Перейти к (2).

Общая структура алгоритма идентична структуре алгоритма равных цен (см. рис. 7), поэтому мы не приводим для него блок-схему. Отметим, что множество вершин и указателей, порождаемых этим алгоритмом, образует дерево (дерево перебора), причем на концах этого дерева расположены вершины из списка ОТКРЫТ.