Таким образом, руководствуясь теоремой, что каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания

«ни-ни»

ИМПЛИКАЦИЯ

Операция «р влечёт q» и называется имплика­цией (с предварительным членом р и с последующим членом q).

Допустим, что если р = п, то значение выражения р влечёт q будет или п, или л в зависимости от того, является ли значение q п, или л. Это анало­гично тому, что высказывание типа «если А, то В», в котором первый член А является правильным, считается или правильным, или ложным в за­висимости от того, правильный или ложный второй его член В. Поэтому соединению типа «если А, то В» соответствует импликация в области ло­гических значений. Но в то же время при ложном высказывании А пред­ложение типа «если А, то В» может вообще не считаться высказыванием Например: если горит лампочка, то лифт работает.

Если высказывание «горит лампочка» правильно, то правильностью высказывания «лифт работает» однозначно решается правильность выше­приведенного предложения. Но если высказывание «горит лампочка» ложно, то ничего нельзя сказать о правильности вышеприведенного предложения. Можно сказать : надо подождать, пока лампочка загорится Приведем пример, в котором не будет даже возможности «подождать»:

Если 2 * 2 = 5, то Дунай является европейской рекой. Если принять то, что соединение типа «если . . .то» соответствует операции импликации, при соблюдении последнего тождества высказывание «если А, то В» вы­ражалось бы с помощью операций конъюнкции и отрицания в следующем виде : «неправильно, что : А и не В» (здесь присутствует выражение «не В» вместо выражения «неправильно, что В»; таким образом, ясно, что выражение «неправильно, что», расположенное в начале высказывания, относится не только к Л, но и к выражению «А и не В»). В соответствии с этим приведенные выше два предложения в примере могут быть пере­формулированы следующим образом:

а) Неправильно, что горит лампочка и лифт не работает.

б) Неправильно, что 2 * 2 = 5 и Дунай не является европейской рекой. Если выражение «горит лампочка» ложно, то ложно и выражение «лампочка горит и лифт не работает», а отрицание его — по а) — является правильным. Выражение. «2 * 2 = 5» ложно, ложно также и выражение «Дунай не является европейской рекой»; их конъюнкция — также ложна, а отрицание этой конъюнкции — по б) — является правильным. Здесь нет противоречия по сравнению с обычным пониманием вещей, так как обычно не обращают внимание на правильность сложного пред­ложения типа «если . . . то» в том случае, когда первый член соединения является ложным.

Выражения вида «если А, то В» можно считать синонимами выражений вида «неправильно, что: «А и не В»; они называются импликациями (с предварительным членом А, с последующим членом В); для их обо­значения применяется символ А влечёт В.

Представленное в области логических значений понятие импликации типа р влечёт q соответствует понятию вышеприведенной операции высказы­вания.

Операции на высказываниях, выражаемые с помощью союзов и частиц, сформулированы недостаточно точно ; в большинстве случаев, они до некоторой степени двусмысленны. По всей вероятности распознавание операций конъюнкции и отрицания наименее проблематично в их грамма­тической форме представления. Поэтому большое значение имеет воз­можность выражения любой логической операции через операции конъ­юнкции и отрицания. Как было показано выше, это позволило нам истолковать образование сложного предложения вида «если . . . то» как операцию.

Упоминаются еще некоторые грамматические синонимы операции «А влечёт В»: «В, если только Л», «Только тогда А, если В», «Достаточным условием В является А», «Необходимым условием А является В», «В если не А».

И конъюнкция и дизъюнкция выражаются с помощью операций импли­кации и отрицания.

Поэтому любая логическая операция может быть выражена с помощью операций отрицания и импликации.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Последний вид выражения операции эквивалентности.

Так как высказывание p эквивалентно q = n тогда и только тогда, когда p = q, то данная логическая операция соответствует образованию сложного предложения вида «А тогда и только тогда, когда В». Понимание и логи­ческое значение предложения такого характера, образованного из двух любых высказываний, иногда затруднительно для восприятия человека, как и понимание предложения вида «если . . . то». Например, «2 < 3 тогда и только тогда, если светит солнце».

Поэтому данное предложение понимается операцией калькуляции высказываний исключительно в том случае, если считать его синонимом высказываний вида «неправильно, что А и не В, и, неправильно, что не А и В». В этом случае данная операция «А влечёт В» и называется эквивалентностью.

Часто встречаются следующие синонимы данной операции: «Для А необходимо и достаточно б», «А именно тогда, когда В».

Заключение

Булеву алгебру образуют все подмножества некоторого множества. То, что они образуют решетчатую структуру, очевидно. Не­трудно доказать и выполнение дистрибутивности. Нулевым элементом является пустое множество, а единичным — все основное множество. Для каждого подмножества существует дополнительный элемент — дополнение к множеству в теоретико-множественном смысле. Булевы алгебры находят применение главным образом в теории мно­жеств, в математической логике, в теории вероятностей и в функциональ­ном анализе.

Библиография

1. Малая математическая энциклопедия. Э. Фрид., И. Пастор., И. Рейман., П. Ревес., И. Ружа. Издательсво академии наук Венгрии. Будапешт 1976 г.

2. Математический анализ. ЧастьIII. В.А.Зоричь. Москва «наука». 1984 г.

3. Пособие по математика для поступающих в ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева Москва «наука» 1988 г.