План:

Введение.

1) Предмет математической логики.

2) Калькуляция высказываний.

3) Заключение.

Библиография.

ВВЕДЕНИЕ

В данном реферате я попытаюсь раскрыть, некоторые аспекты булевой алгебры. Математическая логика является современной формой, так называемой формальной логики, применяющей математические методы для исследо­вания своего предмета. (Другие ее названия: символическая логика, теоретическая логика, логистика.) В формальной логике и, соответственно, в математической логике, собраны результаты законов структуры пра­вильных выводов. Вывод является таким мыслительным процессом, в результате которого появляются новые открытия на основании уже имеющихся (которые предполагаются правильными), без практических исследований. В действительности, новое открытие, полученное в резуль­тате вывода, (так называемый окончательный вывод) в скрытой форме находится в предварительно имеющихся знаниях, в так называемых предпосылках.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Простейшие закономерности выводов открывались человечеством эмпи­рическим путем в ходе общественного производства (например, простей­шие соотношения арифметики и геометрии). Открытие более сложных законов связано с результатами науки формальной логики. Первое круп­ное обобщение формальной логики принадлежит Аристотелю. В фор­мальной логике с самого начала применялись (в единичных случаях) математические методы, но развитие логики не успевало за применением таких методов по сравнению с другими областями математики. Поэтому формальная логика отстала от потребностей науки (в первую очередь от требований математики); отставание оказалось особенно очевидным в новую эру. Главными недостатками формальной логики являлись сле­дующие .

1. Она не сумела привести законы выводов к небольшому количеству надежных логических законов; поэтому подтвердила правильность не­которых выводов на основе экспериментов, которые позже были опро­вергнуты примерами, доказывающими обратное.

2. Она была неспособна анализировать значительную часть выводов, применяемых в повседневной и научной жизни; доказать правильность или неправильность таких выводов. (Например, не могла доказать, что из правильности предложения «Каждая трапеция является четырех­угольником» вытекает правильность предложения «Кто рисует трапецию, тот рисует четырехугольник).

Задача математизации формальной логики была поставлена и осущест­влена Лейбницем. Его работу продолжили математики XIX века. На рубеже столетия с открытием противоречий в теории множеств (см. гл. «Теория множеств») развитие математической логики получило широкий размах. В настоящее время результаты математической логики исполь­зуются во всех традиционных областях формальной логики; открыты совершенно новые области. В настоящее время «традиционная» формаль­ная логика по сравнению с математической логикой имеет значение только для истории науки.

Математическая логика не претендует на открытие законов мышления вообще, или еще в меньшей степени на анализ философских проблем, связанных с человеческим мышлением. Эти вопросы больше относятся к «логике» (в более общем смысле слова) и к философии. (В дальнейшем под словом «логика» будем подразумевать математическую логику.)

ЧТО ТАКОЕ ВЫВОД?

Для более точного определения предмета математической логики сле­довало бы уточнить, что подразумевается под термином логически пра­вильного вывода. Чтобы сформулировать хотя бы одно временное опре­деление, рассмотрим пример вывода. (В соответствии с традиционной формой записывания, предпосылки отделяются от окончательного вы­вода горизонтальной чертой):

1. (Предпосылки) Если будет раздача премии, то мы выполнили план.

Будет раздача премии.

(Окончательный вывод) Мы выполнили план.

Если принять правильность предпосылок, то следует принять и пра­вильность окончательного вывода. Другой, аналогичный пример :

Если мне выпадет туз, то я иду ва-банк.

Мне выпал туз.

Я иду ва-банк.

Обычно вместо предложений (мне выпал туз) и (я иду ва-банк) могут быть записаны любые такие изъявительные предложения, значения кото­рых может быть правильно или ложно; следует оставить неизменными только расположение слов «если» и «то» и расположение предположений, то есть структуру вывода. Пусть А и В обозначает любые заменяющие предложения. Структуру вывода можно выразить следующей схемой;

Если А, то В

А

В

Под определением, что данная схема представляет собой (логически правильную) схему выводов, подразумевается следующее. Если вместо А и В подставить такие предложения, что предпосылки, полученные в результате замены, будут правильными, то и окончательный вывод будет правильным. Любой человек, который понимает значение союзов «если . . . то», поймет, что это правильная схема вывода. В схеме вывода фигу­рируют несколько слов с постоянным значением, далее несколько сим­волов (букв) с меняющимся значением. Символы с меняющимся значением могут быть переменными разных типов. В соответствии с их типом вместо символов могут быть подставлены разные грамматические формации (на­пример : изъявительные предложения, слова, выражающие свойства, названия предметов и т. д.). В предыдущем примере переменные А и В заменяются только изъявительными предложениями. На основе «регуляр­ной» замены переменных некоторой (правильной) схемы вывода должен возникать правильный вывод.

Но определение «регулярной замены» означает не только соблюдение грамматических правил. В предыдущей схеме А и В могут означать только такие изъявительные предложения, правильность или ложность которых может быть решена однозначно. Такие изъявительные предложения будем называть высказываниями.

На основе любой схемы вывода может быть получен правильный вывод только при соблюдении условий подобного характера. Путем изменения условий могут быть построены различные теории логики.

Важнейшими главами математической логики являются калькуляция высказываний и калькуляция предикатов. В рамках данных глав может быть исследована схема вывода в самом общем случае при наименьшем числе условий.

В других главах логики рассматриваются специальные схемы вывода, являющиеся менее общими.

КАЛЬКУЛЯЦИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Предметом калькуляции высказываний является анализ таких схем вывода, при которых с заменой переменных на высказывания, получаются правильные выводы.

Под термином высказывания подразумевается такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или лож­ным ; итак:

а) оно не может одновременно быть и правильным, и ложным (прин­цип непротиворечивости);

б) исключено, чтобы оно было и неправильным, и неложным (принцип исключения третьей возможности).

Свойства «правильное» и «ложное» подразумеваются в их обычном смысле; они не нуждаются в дальнейшем анализе.

При данных обстоятельствах приведенные выше изъявительные пред­ложения удовлетворяют (с «хорошим приближением») этим двум условиям;