Следовательно, разложив подынтегральное выражение в ряд и выбрав коэффициент при T-1 , можно найти вычет.

Вероятность того, что один за другим задерживаются n-1 самолетов, равна (14.60)

Используя формулу Стирлинга для n!, Пирси приводит ряд кривых для этого распределения.

Среднее число самолетов, находящихся в системе (с учетом первого самолета, совершающего посадку без ожидания), равно

(14.61)

Это выражение можно легко найти, дифференцируя выражение (14.56) по T и производя упрощения. (Заметим, что при T=1 задерживаются все самолеты). Аналогично находим второй начальный момент, он равен .

Доля задерживаемых самолетов определяется как отношение среднего числа самолетов, находящихся в системе, без учета самолета, совершающего посадку, к среднему числу самолетов:

.

Распределение длительности посадки найдем путем следующих рассуждений. Все промежутки времени длительностью t<T имеют нулевую частоту; промежутки времени длительностью t=T появляются с частотой t; доля задерживаемых самолетов, т.е. доля промежутков времени длительностью t>T, появляется с частотой 1-T появления незадерживаемых самолетов, умноженной на вероятность их прибытия, т.е. на e-(t+T) . Используем единичную функцию H(T- t) (которая равна единице для положительных значений аргумента и равна нулю для отрицательных; ее производная является дельта-функцией) и дельта-функцию d(T-t), чтобы представить это распределение в виде

Теперь, используя интегральное уравнение Линдли, можно получить распределение времени ожидания. Путем детального анализа Пирси находит выражение для распределения в промежутке времени t, mT < t < (m+1)T:

откуда после интегрирования по t (0 £ t £ ¥) он определяет T как долю задерживаемых самолетов. Заметим, что при суммировании по m необходимо рассматривать интервалы (mT,(m+1)T). Отсюда находим также среднее время ожидания

.

Заметим, что время ожидания увеличивается с ростом T. Приведенное выше распределение дает критерии для определения необходимой пропускной способности аэропорта.[4]

Список литературы

1. Д.Кениг, Д.Штойян. Методы теории массового обслуживания: Пер. с нем. /Под. ред. Г.П.Климова. М., 1981.

2. Г.И.Ивченко, В.А.Каштанов, И.Н.Коваленко. Теория массового обслуживания. М., 1982.

3. Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1987.

4. Т.Л.Саати. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: Пер. с англ. /Под. ред. И.Н. Коваленко, изд-ие 2. М., 1971.

[1] [1] стр. 23-24

[2][2] стр. 50-51

[3] стр 25-35

[4] стр. 384 - 387