Если все приборы заняты обслуживанием и еще имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в этом случае все три условия - стационарность, отсутствие последействия и ординарность - выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна (это можно показать и простым подсчетом)

Итак,

и, следовательно,

Но вероятности Pk известны:

поэтому

очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду

Из формул (13) и (19) следует, что , поэтому при t>0

(22)

Само собой разумеется, что при t<0 .

Функция имеет в точке t=0 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.

6. Средняя длительность ожидания.

Формула (22) позволяет находить все интересующие нас числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна

Несложные вычисления приводят к формуле

(23)

Дисперсия величины g равна

.

Формула (23) дает среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в систему поступает lT требований в среднем; общая потеря ими времени на ожидание в среднем равна

(24)

Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени на ожидание с изменением величины r. При этом мы ограничиваемся случаем T=1 и рассматриваем лишь самые малые значения m: m=1 и m=2.

При m=1 в силу (20)

При r=0.1; 0.3; 0.5; 0.9; значение al приблизительно равно 0.011; 0.267; 0.500; 1.633; 8.100.

При m=2 в силу (21)

При r=0.1; 1.0; 1.5; 1.9 значение al приблизительно равно 0.0003; 0.333; 1.350; 17.587.

Приведенные данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчете загрузки оборудования в системах массового обслуживания.[3]

Приложение теории к движению воздушного транспорта

С некоторыми понятиями, связанными с управлением движением воздушного транспорта, мы познакомились в иллюстративном приложении первой главы. Пирси рассмотрел приложения некоторых идей теории массового обслуживания к организации посадки самолетов. В данном случае обычно представляет интерес сокращение времени посадки. Вычислим вначале вероятность того, что один за другим n-1 самолетов ожидают приземления.

Допустим, что самолеты приближаются к зоне управления со случайных направлений через случайные промежутки времени, распределенные по экспоненциальному закону, с постоянной интенсивностью прибытия, которая принимается равной одной единице. Следовательно, e-t - распределение промежутков времени между моментами прибытия. Самолет, который прибывает через промежуток времени, меньший минимального времени, необходимо для безопасного предыдущего самолета, задерживается на минимальное время. Отношение минимального времени, необходимого для безопасной посадки, к средней длительности промежутка времени между прибывающими самолетами обозначается T (для простоты будем считать, что для данного аэропорта эта величина постоянна). Обычно представляет интерес случай T<1. Вероятность того, что прибывший самолет не задерживается, равна

(14.54)

Вероятность того, что будет задержан один самолет, найдем, рассмотрев все задержки одиночных самолетов между двумя незадерживаемыми самолетами. Самолет, который будет задержан, должен прибыть через промежуток времени t1<T после прибытия незадерживаемого самолета, непосредственно предшествующего ему, а незадерживаемый самолет, непосредственно следующий за ним, должен прибыть через промежуток времени t>2T-t1 . Таким образом, искомая вероятность совместного появления этих двух событий равна

Вероятность того, что будет задержано два самолета, находится аналогично (рассматривается два задерживаемых самолета между двумя незадерживаемыми) путем вычисления вероятности совместного появления событий:

t1 < T - для первого задерживаемого самолета, следующего за незадерживаемым;

t2 < 2T- t1 - для второго задерживаемого самолета, следующего за первым задерживаемым;

t < 3T- t1 - t2 - для незадерживаемого самолета, следующего непосредственно за двумя задерживаемыми.

В результате для двух задерживаемых самолетов получаем

. (14.55)

Общее выражение для вероятности того, что задерживается n-1 самолетов, имеет вид an Tn-1 e-nT , где an- коэффициент, зависящий только от n. Очевидно, что должно выполняться соотношение

(14.56)

или

(14.57)

где величина UºTe-T для малых T определяется однозначно, следовательно, T можно выразить как функцию от U:

(14.58)

Используя то обстоятельство, что начало координат - кратный полюс, имеем

(14.59)